שיעור: קעירות של פונקציה

מצגת בנושא: "שיעור: קעירות של פונקציה"— תמליל מצגת:

1 שיעור: קעירות של פונקציה
אנליזה שיעור: קעירות של פונקציה אודות

2 מה מצפה לנו היום? היום נלמד תכונה נוספת של פונקציות: קעירות
מהי קעירות של פונקציה? האם הופנקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? נעים מאוד. נגזרת שניה ונקודת פיתול. תירגול. סיכום. מקור תמונה: מיקרוסופט

3 השוואה בין שתי פונקציות
התבוננו בשני הגרפים שלפניכם: מצאו תכונות המשותפות לשתי הפונקציות המתוארות. מצאו הבדלים בין שתי הפונקציות הללו.

4 השוואה בין שתי פונקציות | תכונות משותפות
התבוננו בשני הגרפים שלפניכם: מצאו תכונות המשותפות לשתי הפונקציות המתוארות. מצאו הבדלים בין שתי הפונקציות הללו. תכונות משותפות בתחום המצוייר: לשני הגרפים יש שתי נקודות משותפות. שתי הפונקציות חיוביות. שתי הפונקציות עולות. לשתי הפונקציות יש שיפוע חיובי. לשתי הפונקציות אין נקודות קיצון פנימיות. כדי לזהות במה נבדלות שתי הפונקציות נעזר בגאוגברה "קעירות_מיתר ומשיק".

5 השוואה בין שתי פונקציות | תכונות נבדלות
התבוננו בשני הגרפים שלפניכם: מצאו תכונות המשותפות לשתי הפונקציות המתוארות. מצאו הבדלים בין שתי הפונקציות הללו. הבדלים: מלאו את הטבלה: פונקציה f פונקציה g מיתר בין שתי נקודות משיק בנקודה עליה ככל ש x גדל שיפוע ככל ש x גדל

6 השוואה בין שתי פונקציות | תכונות נבדלות
התבוננו בשני הגרפים שלפניכם: מצאו תכונות המשותפות לשתי הפונקציות המתוארות מצאו הבדלים בין שתי הפונקציות הללו. הבדלים: מלאו את הטבלה: פונקציה f פונקציה g מיתר בין שתי נקודות נמצא מעל לגרף נמצא מתחת לגרף משיק בנקודה נמצא מעל הגרף עליה ככל ש x גדל נעשית יותר תלולה נעשית יותר מתונה שיפוע ככל ש x גדל עולה יורד

7 פונקציה קעורה כלפי מעלה ופונקציה קעורה כלפי מטה
כאשר שיפוע המשיקים של פונקציה עולה נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה. ניתן לדמות את גרף הפונקציה הקעורה כלפי מעלה כקערה שניתן למלא. כאשר שיפוע המשיקים של פונקציה יורד נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מטה. ניתן לדמות את גרף הפונקציה הקעורה כלפי מטה כקערה המונחת לייבוש.

8 נזהה סוג קעירות על פי גרף הפונקציה
היום נלמד תכונה נוספת של פונקציות: קעירות מהי קעירות של פונקציה? האם הופנקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? נעים מאוד. נגזרת שניה ונקודת פיתול. תירגול. סיכום. מקור תמונה: מיקרוסופט

9 קעירות כלפי מעלה או מטה | זיהוי
האם תוכלו לזהות על פי גרף הפונקציה האם היא קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? פונקציה g פונקציה h פונקציה f פונקציה m

10 קעירות כלפי מעלה או מטה | זיהוי
האם תוכלו לזהות על פי גרף הפונקציה האם היא קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? היכן נמצאים המיתרים בין כל שתי נקודות – מעל או מתחת לגרף? קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מטה קעורה כלפי מטה פונקציה g פונקציה h פונקציה f פונקציה m

11 קעירות כלפי מעלה או מטה | בדיקת מיתרים
האם תוכלו לזהות על פי גרף הפונקציה האם היא קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? היכן נמצאים המשיקים בכל נקודה – מעל או מתחת לגרף? קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מטה קעורה כלפי מטה המיתרים מעל הגרף. פונקציה g המיתרים מעל הגרף. פונקציה h המיתרים מתחת לגרף. פונקציה f המיתרים מתחת לגרף. פונקציה m

12 קעירות כלפי מעלה או מטה | בדיקת משיקים
האם תוכלו לזהות על פי גרף הפונקציה האם היא קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מטה קעורה כלפי מטה המיתרים מעל הגרף. המשיקים מתחת לגרף. פונקציה g המיתרים מעל הגרף. המשיקים מתחת לגרף. פונקציה h המיתרים מתחת לגרף. המשיקים מעל הגרף. פונקציה f המיתרים מתחת לגרף. המשיקים מעל הגרף. פונקציה m

13 קעירות כלפי מעלה או מטה | בדיקת השיפועים
האם תוכלו לזהות על פי גרף הפונקציה האם היא קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? נבדוק בגאוגברה "קעירות_שיפוע" את שינוי השיפועים בפונקציות הללו. קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מטה קעורה כלפי מטה המיתרים מעל הגרף. המשיקים מתחת לגרף. פונקציה g המיתרים מעל הגרף. המשיקים מתחת לגרף. פונקציה h המיתרים מתחת לגרף. המשיקים מעל הגרף. פונקציה f המיתרים מתחת לגרף. המשיקים מעל הגרף. פונקציה m

14 הערה | פונקציה עם מספר ענפים
שימו לב: כאשר גרף הפונקציה מורכב ממספר ענפים, כגון במקרים שבהם יש אסימפטוטה אנכית, יש לשים לב שהמיתרים אותם אנו מותחים, כדי לזהות את סוג הקעירות, מחברים נקודות הנמצאות על אותו ענף של הפונקציה. בדוגמא שלפניכם: בכל ענף, האם הפונקציה קעורה כלפי מעלה או מטה?

15 הערה | פונקציה עם מספר ענפים
שימו לב: כאשר גרף הפונקציה מורכב ממספר ענפים, כגון במקרים שבהם יש אסימפטוטה אנכית, יש לשים לב שהמיתרים אותם אנו מותחים, כדי לזהות את סוג הקעירות, מחברים נקודות הנמצאות על אותו ענף של הפונקציה. בדוגמא שלפניכם: בכל ענף, האם הפונקציה קעורה כלפי מעלה או מטה? בענף ימני ושמאלי היא קעורה כלפי מעלה (למרות שאם היינו מחברים את B עם D המיתר המתקבל היה מתחת לענפים אלו). בענף מרכזי היא קעורה כלפי מטה.

16 כיצד נזהה סוג קעירות במידה ולא נתון גרף הפונקציה?
היום נלמד תכונה נוספת של פונקציות: קעירות מהי קעירות של פונקציה? האם הופנקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? נעים מאוד. נגזרת שניה ונקודת פיתול. תירגול. סיכום. מקור תמונה: מיקרוסופט

17 איך מבחינים בין תחומים של קעירות מסוגים שונים?
המאפיין של קעירות כלפי מעלה הוא עלייה של שיפועי המשיקים לפונקציה. המאפיין של קעירות כלפי מטה הוא ירידה של שיפועי המשיקים לפונקציה. כיצד נגלה מתי שיפוע המשיקים עולה/יורד?

18 איך מבחינים בין תחומים של קעירות מסוגים שונים?
המאפיין של קעירות כלפי מעלה הוא עלייה של שיפועי המשיקים לפונקציה. המאפיין של קעירות כלפי מטה הוא ירידה של שיפועי המשיקים לפונקציה. כיצד נגלה מתי שיפוע המשיקים עולה/יורד? הנגזרת של הפונקציה מתארת את שיפועי המשיקים לפונקציה בכל נקודה ונקודה. אם נגלה היכן הנגזרת עולה, נוכל לדעת את התחומים שבהם הפונקציה קעורה כלפי מעלה. כיצד נוכל לגלות תחומי עלייה של הנגזרת?

19 איך מבחינים בין תחומים של קעירות מסוגים שונים?
המאפיין של קעירות כלפי מעלה הוא עלייה של שיפועי המשיקים לפונקציה. המאפיין של קעירות כלפי מטה הוא ירידה של שיפועי המשיקים לפונקציה. כיצד נגלה מתי שיפוע המשיקים עולה/יורד? הנגזרת של הפונקציה מתארת את שיפועי המשיקים לפונקציה בכל נקודה ונקודה. אם נגלה היכן הנגזרת עולה, נוכל לדעת את התחומים שבהם הפונקציה קעורה כלפי מעלה. כיצד נוכל לגלות תחומי עלייה של הנגזרת? נוכל לגלות את תחומי העלייה והירידה של הנגזרת ע"י גזירה של הנגזרת ("נגזרת שניה") (תזכורת: כדי למצוא תחומי עלייה וירידה של פונקציה, גזרנו אותה ובדקנו באילו תחומים הנגזרת חיובית/שלילית).

20 נעים מאוד. נגזרת שניה. המאפיין של קעירות כלפי מעלה הוא עלייה של שיפועי המשיקים לפונקציה. המאפיין של קעירות כלפי מטה הוא ירידה של שיפועי המשיקים לפונקציה. כיצד נגלה מתי שיפוע המשיקים עולה/יורד? הנגזרת של הפונקציה מתארת את שיפועי המשיקים לפונקציה בכל נקודה ונקודה. אם נגלה היכן הנגזרת עולה, נוכל לדעת את התחומים שבהם הפונקציה קעורה כלפי מעלה. כיצד נוכל לגלות תחומי עלייה של הנגזרת? נוכל לגלות את תחומי העלייה והירידה של הנגזרת ע"י גזירה של הנגזרת ("נגזרת שניה") (תזכורת: כדי למצוא תחומי עלייה וירידה של פונקציה, גזרנו אותה ובדקנו באילו תחומים הנגזרת חיובית/שלילית). בעזרת הנגזרת השנייה ניתן לגלות את תחומי העלייה והירידה של שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה, כלומר מתי הפונקציה קעורה כלפי מעלה ומתי קעורה כלפי מטה.

21 הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת | דוגמא
בעזרת הנגזרת השנייה ניתן לגלות את תחומי העלייה והירידה של שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה. נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3 𝑥 2 נגזרת הפונקציה היא:

22 הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת | דוגמא
בעזרת הנגזרת השנייה ניתן לגלות את תחומי העלייה והירידה של שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה. נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3 𝑥 2 נגזרת הפונקציה היא: 𝑓 ′ 𝑥 =3 𝑥 2 −6𝑥 נגזור את הנגזרת ונקבל: 𝑓 ′′ 𝑥 =

23 הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת | דוגמא
בעזרת הנגזרת השנייה ניתן לגלות את תחומי העלייה והירידה של שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה. נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3 𝑥 2 נגזרת הפונקציה היא: 𝑓 ′ 𝑥 =3 𝑥 2 −6𝑥 נגזור את הנגזרת ונקבל: 𝑓 ′′ 𝑥 =6𝑥−6 באילו תחומים הנגזרת השנייה חיובית? באילו תחומים הנגזרת השנייה שלילית?

24 הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת | דוגמא
בעזרת הנגזרת השנייה ניתן לגלות את תחומי העלייה והירידה של שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה. נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3 𝑥 2 נגזרת הפונקציה היא: 𝑓 ′ 𝑥 =3 𝑥 2 −6𝑥 נגזור את הנגזרת ונקבל: 𝑓 ′′ 𝑥 =6𝑥−6 התחומים בהם הנגזרת השנייה חיובית: 𝑥>1 התחומים בהם הנגזרת השנייה שלילית: 𝑥<1

25 הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת | דוגמא
בעזרת הנגזרת השנייה ניתן לגלות את תחומי העלייה והירידה של שיפועי המשיקים לגרף הפונקציה. נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3 𝑥 2 נגזרת הפונקציה היא: 𝑓 ′ 𝑥 =3 𝑥 2 −6𝑥 נגזור את הנגזרת ונקבל: 𝑓 ′′ 𝑥 =6𝑥−6 התחומים בהם הנגזרת השנייה חיובית: 𝑥>1 התחומים בהם הנגזרת השנייה שלילית: 𝑥<1 הפונקציה קעורה כלפי מעלה כאשר: 𝑥>1 הפונקציה קעורה כלפי מטה כאשר: 𝑥<1 (אתם מוזמנים לחקור ולבדוק שאכן כך נראה גרף הפונקציה...)

26 פונקציה קעורה כלפי מטה וגם כלפי מעלה
הפונקציה f היא דוגמא לכך שאותה הפונקציה יכולה להיות קעורה כלפי מטה בתחום מסוים וקעורה כלפי מעלה בתחום אחר שלה. מלאו את הנדרש: תחומי קעירות כלפי מעלה:________________ תחומי קעירות כלפי מטה:________________ תחומי עלייה__________________________ תחומי ירידה_________________________ תחומי חיוביות:_______________________ תחומי שליליות________________________

27 לסיכום - תחומי קעירות, עליה/ירידה, חיוביות שליליות
הפונקציה f היא דוגמא לכך שאותה הפונקציה יכולה להיות קעורה כלפי מטה בתחום מסוים וקעורה כלפי מעלה בתחום אחר שלה. מלאו את הנדרש: תחומי קעירות כלפי מעלה: 𝑥>1 תחומי קעירות כלפי מטה: 𝑥<1 תחומי עלייה: x<0 , 𝑥>2 תחומי ירידה: 0<𝑥<2 תחומי חיוביות: 𝑥>3 תחומי שליליות: 0<𝑥<3, 𝑥<0

28 נעים מאוד. נקודת פיתול. הפונקציה f היא דוגמא לכך שאותה הפונקציה יכולה להיות קעורה כלפי מטה בתחום מסוים וקעורה כלפי מעלה בתחום אחר שלה. לנקודה שבה יש מעבר בין קעירות כלפי מעלה לקעירות כלפי מטה או להפך ( בדוגמא שלנו כאשר x=1 ) קוראים נקודת פיתול.

29 נתרגל מעט היום נלמד תכונה נוספת של פונקציות: קעירות
מהי קעירות של פונקציה? האם הופנקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? נעים מאוד. נגזרת שניה ונקודת פיתול. תירגול. סיכום. מקור תמונה: מיקרוסופט

30 שאלה 1 מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות הבאות: 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 4

31 שאלה 1 | פתרון סעיף א מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות הבאות: נגזור את הפונקציה פעמיים: כדי לדעת תחומי קעירות כלפי מעלה או מטה של הפונקציה, נרצה לדעת מתי הנגזרת הראשונה עולה או יורדת. כאשר הנגזרת השנייה חיובית - הנגזרת הראשונה עולה. כאשר הנגזרת השנייה שלילית - הנגזרת הראשונה יורדת. מהסתכלות על הנגזרת השנייה רואים שהיא אי חיובית לכל x. מסקנה: הנגזרת הראשונה עולה בכל התחום, כלומר הפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל התחום (לכל x). 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 4

32 שאלה 1 | פתרון סעיף א מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות הבאות: הגילוי שהפונקציה הזו קעורה כלפי מעלה בכל התחום איננו מפתיע שכן אנו מכירים את גרף הפונקציה, ואכן צורתו איננה ככלי המונח לייבוש אלא ככלי המוכן לקיבול... 𝑔 𝑥 = 1 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 4

33 שאלה 1 | פתרון סעיף ב מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות הבאות: נגזור את הפונקציה פעמיים: 𝑔 𝑥 = 1 𝑥

34 שאלה 1 | פתרון סעיף ב מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות הבאות: נגזור את הפונקציה פעמיים: נגזרת ראשונה - 𝑔 ′ 𝑥 =− 1 𝑥 2 את הנגזרת השנייה נגזור לפי כלל נגזרת של פונקציה מורכבת: הפנימית היא 𝑢 𝑥 = 1 𝑥 החיצונית היא 𝑓 𝑢 =− 𝑢 2 ואז: 𝑔 ′ ’ 𝑥 ==−2∙ 1 𝑥 ∙ − 1 𝑥 2 = 2 𝑥 3 𝑔 𝑥 = 1 𝑥

35 שאלה 1 | פתרון סעיף ב מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות הבאות: נגזור את הפונקציה פעמיים: נגזרת ראשונה - 𝑔 ′ 𝑥 =− 1 𝑥 2 , נגזרת שניה: 𝑔 ′ ’(𝑥)= 2 𝑥 3 כדי לדעת תחומי קעירות כלפי מעלה או מטה, נרצה לדעת מתי הנגזרת הראשונה עולה או יורדת. כאשר הנגזרת השנייה חיובית - הנגזרת הראשונה עולה. כאשר הנגזרת השנייה שלילית - הנגזרת הראשונה יורדת. הנגזרת השנייה חיובית כאשר _________________ מסקנה: הפונקציה קעורה כלפי מעלה בתחום שבו ___________________ הנגזרת השנייה שלילית כאשר __________ מסקנה: הפונקציה קעורה כלפי מטה בתחום שבו _______________ 𝑔 𝑥 = 1 𝑥

36 שאלה 1 | פתרון סעיף ב מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות הבאות: נגזור את הפונקציה פעמיים: נגזרת ראשונה - 𝑔 ′ 𝑥 =− 1 𝑥 2 , נגזרת שניה: 𝑔 ′ ’(𝑥)= 2 𝑥 3 כדי לדעת תחומי קעירות כלפי מעלה או מטה, נרצה לדעת מתי הנגזרת הראשונה עולה או יורדת. כאשר הנגזרת השנייה חיובית - הנגזרת הראשונה עולה. כאשר הנגזרת השנייה שלילית - הנגזרת הראשונה יורדת. הנגזרת השנייה חיובית כאשר 𝑥 3 >0 כלומר כאשר 𝑥>0. מסקנה: הפונקציה קעורה כלפי מעלה בתחום שבו 𝑥>0. הנגזרת השנייה שלילית כאשר 2 𝑥 3 >0 כלומר כאשר 𝑥<0. מסקנה: הפונקציה קעורה כלפי מטה בתחום שבו 𝑥<0. 𝑔 𝑥 = 1 𝑥

37 שאלה 1 | פתרון סעיף ב מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות הבאות: מצאנו שהפונקציה קעורה כלפי מעלה בתחום שבו 𝑥>0. והפונקציה קעורה כלפי מטה בתחום שבו 𝑥<0. הממצאים שגילינו מתאימים לגרף הפונקציה g(x) המוכר לנו מהעבר: 𝑔 𝑥 = 1 𝑥

38 שאלה 2 מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות f ו g אם ידוע ש: 𝑔 ′′ (𝑥)=−2 𝑓 ′′ (𝑥)= 3𝑥 2 +1 הערה למורה: נא לתת לתלמידים להתנסות בעצמם בפתרון

39 שאלה 2 | פתרון מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות f ו g אם ידוע ש: 𝑔 ′′ (𝑥)=−2 𝑓 ′′ (𝑥)= 3𝑥 2 +1 הנגזרת השנייה שלילית לכל x לכן הנגזרת הראשונה יורדת לכל x לכן הפונקציה קעורה כלפי מטה. בדוגמה זו קל למצוא פונקציה שזו נגזרתה. תנו דוגמא לפונקציה 𝑔′(𝑥) : הנגזרת השנייה חיובית לכל x לכן הנגזרת הראשונה עולה לכלx לכן הפונקציה f קעורה כלפי מעלה.

40 שאלה 2 | פתרון מצא את תחומי הקעירות כלפי מטה וכלפי מעלה של הפונקציות f ו g אם ידוע ש: 𝑔 ′′ (𝑥)=−2 𝑓 ′′ (𝑥)= 3𝑥 2 +1 הנגזרת השנייה שלילית לכל x לכן הנגזרת הראשונה יורדת לכל x לכן הפונקציה קעורה כלפי מטה. בדוגמה זו קל למצוא פונקציה שזו נגזרתה. תנו דוגמא לפונקציה 𝑔′(𝑥) : לדוגמא 𝑔 ′ 𝑥 =−2𝑥 ולכן למשל 𝑔 𝑥 =− 𝑥 2 הפונקציה הזו קעורה כלפי מטה . אילו היינו בוחרים פונקציה שונה, בכל מקרה הגרף שלה היה "פרבולה עצובה", כלומר היא חייבת להיות קעורה כלפי מטה. הנגזרת השנייה חיובית לכל x לכן הנגזרת הראשונה עולה לכלx לכן הפונקציה f קעורה כלפי מעלה.

41 מסקנות: מהנגזרת השנייה לסוג קעירות
אם הנגזרת השנייה חיובית בתחום אז הפונקציה קעורה כלפי מעלה בתחום זה. אם הנגזרת השנייה שלילית בתחום אז הפונקציה קעורה כלפי מטה בתחום זה. כלפי מעלה וכלפי מטה

42 שאלה 3 נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −6 𝑥 מהם תחומי הקעירות השונים של הפונקציה?

43 פתרון שאלה 3 | נגזרת ראשונה ושניה
נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −6 𝑥 מהם תחומי הקעירות השונים של הפונקציה? פתרון נמצא תחילה את הנגזרת הראשונה והשנייה:

44 פתרון שאלה 3 | נגזרת ראשונה ושניה
נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −6 𝑥 מהם תחומי הקעירות השונים של הפונקציה? פתרון נמצא תחילה את הנגזרת הראשונה והשנייה: 𝑓 ′ 𝑥 =4 𝑥 3 −12𝑥, 𝑓 ′′ 𝑥 =12 𝑥 2 −12 . כדי למצוא תחומי קעירות עלינו לדעת את סימן הנגזרת השנייה , לשם כך נמצא את נקודות האפס של הנגזרת השנייה.

45 פתרון שאלה 3 | נקודות האפס של הנגזרת השניה
נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −6 𝑥 מהם תחומי הקעירות השונים של הפונקציה? פתרון נמצא תחילה את הנגזרת הראשונה והשנייה: 𝑓 ′ 𝑥 =4 𝑥 3 −12𝑥, 𝑓 ′′ 𝑥 =12 𝑥 2 −12 . כדי למצוא תחומי קעירות עלינו לדעת את סימן הנגזרת השנייה , לשם כך נמצא את נקודות האפס של הנגזרת השנייה.

46 פתרון שאלה 3 | הצבה בטבלת ערכים
נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −6 𝑥 מהם תחומי הקעירות השונים של הפונקציה? פתרון הנגזרת הראשונה והשנייה: 𝑓 ′ 𝑥 =4 𝑥 3 −12𝑥, 𝑓 ′′ 𝑥 =12 𝑥 2 −12 . נקודות האפס של הנגזרת השנייה: 𝑥=±1. שתי נקודות האפס מחלקות את התחום לשלושה תחומים. בתוך כל תחום, יש לנגזרת השנייה סימן אחיד. כדי לדעת אם הנגזרת השנייה חיובית או שלילית בכל תחום, מספיק לבדוק את סימן הנגזרת השנייה בנקודה אחת בו. נעזר בטבלה בדומה לאופן שבו מצאנו תחומי עלייה וירידה של פונקציה. 𝑥>1 למשל 𝑥=2 𝑥=1 −1<𝑥<1 למשל 𝑥=0 𝑥=−1 𝑥<−1 למשל 𝑥=−2 x f’’(x) f(x)

47 פתרון שאלה 3 | תשובה סופית
נתונה הפונקציה: 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −6 𝑥 מהם תחומי הקעירות השונים של הפונקציה? פתרון הנגזרת הראשונה והשנייה: 𝑓 ′ 𝑥 =4 𝑥 3 −12𝑥, 𝑓 ′′ 𝑥 =12 𝑥 2 −12 . נקודות האפס של הנגזרת השנייה: 𝑥=±1. תשובה סופית: תחומי הקעירות כלפי מעלה הם: 𝑥<−1 או 𝑥>1 . תחום הקעירות כלפי מטה הוא: −1<𝑥<1. 𝑥>1 למשל 𝑥=2 𝑥=1 −1<𝑥<1 למשל 𝑥=0 𝑥=−1 𝑥<−1 למשל 𝑥=−2 x 12 ∙ 2 2 −12>0 + 12∙0−12<0 - 12 ∙ −2 2 −12>0 f’’(x) קעורה כלפי מעלה קעורה כלפי מטה f(x)

48 נסכם את השיעור היום נלמד תכונה נוספת של פונקציות: קעירות
מהי קעירות של פונקציה? האם הופנקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה? נעים מאוד. נגזרת שניה ונקודת פיתול. תירגול. סיכום. מקור תמונה: מיקרוסופט

49 היום למדנו על סוגי קעירות
קעירות כלפי מעלה קעירות כלפי מטה מיתרים שמחברים נקודות על הגרף בתחום נמצאים מעל הגרף מיתרים שמחברים נקודות על הגרף בתחום נמצאים מתחת הגרף המשיקים נמצאים מתחת לגרף בתחום המשיקים נמצאים מעל לגרף בתחום שיפוע המשיקים עולה בתחום שיפוע המשיקים יורד בתחום הנגזרת עולה בתחום הנגזרת יורדת בתחום הנגזרת השנייה חיובית הנגזרת השנייה שלילית ניתן לדמות את גרף הפונקציה הקעורה כלפי מעלה כקערה שניתן למלא. ניתן לדמות את גרף הפונקציה הקעורה כלפי מטה כקערה המונחת לייבוש למדנו כיצד ניתן להשתמש בנגזרת השנייה (הנגזרת של הנגזרת ) כדי למצוא את תחומי הקעירות השונים של הפונקציה. סוף