BFS,DFS Topological Sort תרגול 12 BFS,DFS Topological Sort ds182-ps12 08.08.2019

גרפים גרף G=(V,E) 2 דרכים עיקריות לייצג גרף כמבנה נתונים: מטריצת סמיכויות מטריצה M בגודל |𝑉|𝑥|𝑉| M[i,j]=1 אם יש קשת בין 𝑣𝑖 ל𝑣𝑗 בG, אחרת M[i,j]=0 רשימות סמיכויות מערך בגודל |V| התא ה𝑖 מכיל רשימה משורשרת של השכנים של 𝑣𝑖. כלומר, של כל הקודקודים 𝑣𝑗 כך ש 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈𝐸 במקרים מסוימים אפשר להשתמש בשניהם ds182-ps12 08.08.2019

ds182-ps12 08.08.2019

ds182-ps12 08.08.2019

BFS(G, s) - Breadth-First Search קודם נגיע לשכנים הקרובים ביותר ורק אח"כ נתרחק. ds182-ps12 08.08.2019

BFS(G, s) - Breadth-First Search מתחילים מקודקוד המקור 𝑠 ועוברים שכבה שכבה עד שמכסים את כל הקודקודים שניתן להגיע מ𝑠 אליהם. האלגוריתם מחשב את המרחק הקצר ביותר מ𝑠 לכל הקודקודים הנגישים לו. האלגוריתם עובד על גרף מכוון ולא מכוון. ds182-ps12 08.08.2019

BFS(G,s) 1. for each vertex u in V[G] – {s} 2 do color[u]  white 3 d[u]   4 [u]  null 5 color[s]  gray 6 d[s]  0 7 [s]  null 8 Q   9 enqueue(Q,s) 10 while Q   11 do u  dequeue(Q) 12 for each v in Adj[u] 13 do if color[v] = white 14 then color[v]  gray 15 d[v]  d[u] + 1 16 [v]  u 17 enqueue(Q,v) 18 color[u]  black white: undiscovered (לא נגעתי) gray: discovered (בטיפול) black: finished(סיימתי) Q: a queue of discovered vertices color[v]: color of v d[v]: distance from s to v [u]: predecessor of v ds182-ps12 08.08.2019

Example (BFS) r s t u        v w x y Q: s ds182-ps12 08.08.2019

Example (BFS) r s t u 1    1   v w x y Q: w r 1 1 ds182-ps12    1   v w x y Q: w r 1 1 ds182-ps12 08.08.2019

Example (BFS) r s t u 1 2   1 2  v w x y Q: r t x 1 2 2 ds182-ps12 2   1 2  v w x y Q: r t x 1 2 2 ds182-ps12 08.08.2019

Example (BFS) r s t u 1 2  2 1 2  v w x y Q: t x v 2 2 2 ds182-ps12 2  2 1 2  v w x y Q: t x v 2 2 2 ds182-ps12 08.08.2019

Example (BFS) r s t u 1 2 3 2 1 2  v w x y Q: x v u 2 2 3 ds182-ps12 2 3 2 1 2  v w x y Q: x v u 2 2 3 ds182-ps12 08.08.2019

Example (BFS) r s t u 1 2 3 2 1 2 3 v w x y Q: v u y 2 3 3 ds182-ps12 2 3 2 1 2 3 v w x y Q: v u y 2 3 3 ds182-ps12 08.08.2019

Example (BFS) r s t u 1 2 3 2 1 2 3 v w x y Q: u y 3 3 ds182-ps12 2 3 2 1 2 3 v w x y Q: u y 3 3 ds182-ps12 08.08.2019

Example (BFS) r s t u 1 2 3 2 1 2 3 v w x y Q: y 3 ds182-ps12 2 3 2 1 2 3 v w x y Q: y 3 ds182-ps12 08.08.2019

Example (BFS) r s t u 1 2 3 2 1 2 3 v w x y Q:  ds182-ps12 08.08.2019

Time complexity: O(|V| + |E|), sometimes written as O(V+E) Example (BFS) r s t u 1 2 3 2 1 2 3 v w x y BFS Tree Time complexity: O(|V| + |E|), sometimes written as O(V+E) ds182-ps12 08.08.2019

DFS(G, s) - Depth-First Search ds182-ps12 08.08.2019

DFS DFS(G) 1. for each vertex u  V[G] 2. do color[u]  white 3. [u]  NULL 4. time  0 5. for each vertex u  V[G] 6. do if color[u] = white 7. then DFS-Visit(u) DFS-Visit(u) color[u]  GRAY time  time + 1 d[u]  time for each v  Adj[u] do if color[v] = WHITE then [v]  u DFS-Visit(v) color[u]  BLACK f[u]  time The time is to determine what kind of edge this is Uses a global timestamp time. ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/ x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/ 2/ x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/ 2/ 3/ x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/ 2/ 4/ 3/ x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/ 2/ B 4/ 3/ x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/ 2/ B 4/5 3/ x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/ 2/ B 4/5 3/6 x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/ 2/7 B 4/5 3/6 x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/ 2/7 B F 4/5 3/6 x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/8 2/7 B F 4/5 3/6 x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/8 2/7 9/ B F 4/5 3/6 x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/8 2/7 9/ B C F 4/5 3/6 x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/8 2/7 9/ B C F 4/5 3/6 10/ x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/8 2/7 9/ B C F 4/5 3/6 10/ B x y z ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/8 2/7 9/ B C F 4/5 3/6 B x y z 10/11 ds182-ps12 08.08.2019

Example (DFS) u v w 1/8 2/7 9/12 B C F 4/5 3/6 B x y z 10/11 ds182-ps12 08.08.2019

DFS Edges Classifications DFS can be used to classify the edges of the input graph G=(V,E). Tree-edges (u,v) - if v was initially discovered using edge from u to v Back-edges (u,v) - if v is an ancestor of u in the depth-tree Forward-edges (u,v) - not a tree-edge, where u is v's ancestor Cross-edges (u,v) - All the other edges, where u and v are vertices in different depth-tree, u is not v's ancestor or v is not u's ancestor ds182-ps12 08.08.2019

DFS Edges Classifications מה קורה בגרף לא מכוון? DFS can be used to classify the edges of the input graph G=(V,E). Tree-edges (u,v) - if v was initially discovered using edge from u to v Back-edges (u,v) - if v is an ancestor of u in the depth-tree Forward-edges (u,v) - not a tree-edge, where u is v's ancestor Cross-edges (u,v) - All the other edges, where u and v are vertices in different depth-tree, u is not v's ancestor or v is not u's ancestor הקשתות היחידות הן: קשתות עץ קשתות אחורה ds182-ps12 08.08.2019

דוגמת ריצה של BFS & DFS ds182-ps12 08.08.2019

דוגמת ריצה של BFS & DFS ds182-ps12 08.08.2019

רעיון – בוא נקבע סדר כלשהו על הגרף שאלה 1 – גרף חסר מעגלים נתון גרף לא מכוון𝐺 = (𝑉,𝐸) המיוצג ע"י רשימת שכינויות. הצע אלגוריתם ליצירת גרף מכוון חסר מעגלים 𝐺′ = (𝑉,𝐸′) מתוך הגרף 𝐺. האלגוריתם קובע את הכיוון של הקשתות 𝐸 כך ש|E′|=|E|. רעיון – בוא נקבע סדר כלשהו על הגרף ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 1 – גרף חסר מעגלים פתרון: נמספר את כל הקודקודים בגרף. נתון גרף לא מכוון𝐺 = (𝑉,𝐸) המיוצג ע"י רשימת שכינויות. הצע אלגוריתם ליצירת גרף מכוון חסר מעגלים 𝐺′ = (𝑉,𝐸′) מתוך הגרף 𝐺. האלגוריתם קובע את הכיוון של הקשתות 𝐸 כך ש|E′|=|E|. פתרון: נמספר את כל הקודקודים בגרף. נאתחל 𝐸 ′ = . לכל קודקוד 𝑣 𝑖 ∈𝑉 וקשת 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈𝐸 כך ש 𝑖<𝑗 אזי: 𝐸 ′ ← 𝐸 ′ ∪( 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ) ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 1 – גרף חסר מעגלים הוכחה: נוכיח כי 𝐸 ′ = 𝐸 : נוכיח כי 𝐸 ′ = 𝐸 : לכל קשת 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 ∈𝐸 מתקיים כי או (𝑖 < 𝑗) או 𝑗 < 𝑖 . מכיוון ש 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑗 וגם 𝑣 𝑗 , 𝑣 𝑖 נמצאות ברשימת השכינויות של הגרף הלא מכוון, אז בדיוק אחת מהן תופיע ב𝐸′. ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 1 – גרף חסר מעגלים הוכחה: נוכיח כי 𝐺′ הוא גרף חסר מעגלים : נניח בשלילה שיש מעגל ב𝐺′ אשר מתחיל מהקודקוד 𝑣 𝑖 . המעגל עובר בקודקודים 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 1 , 𝑣 𝑖 2 ,…, 𝑣 𝑖 𝑘 ואז חוזר ל 𝑣 𝑖 . 𝑣 𝑖 , 𝑣 𝑖 1 , 𝑣 𝑖 2 ,…, 𝑣 𝑖 𝑘 , 𝑣 𝑖 לפי בניית הגרף, מתקיים 𝑖< 𝑖 1 <…< 𝑖 𝑘 <𝑖 סתירה ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות דרך מהעיר A לעיר B מיוצג ע"י הזוג (A,B) הניחו כי הדרכים הם דו כיווניות בהינתן קבוצה של m דרכים ו – n ערים הציעו איך לעבד את הקלט בזמן O(n+m) וזיכרון לא מוגבל כדי לתמוך בפעולה הבאה בזמן O(1): Reachable(i,j)- מחזיר TRUE אם קיימת דרך מעיר i לעיר j אחרת יחזיר FALSE ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות רעיון: רכיבי קשירות: גרף חלקי לגרף המקורי בו קיימת דרך בין כל שני קודקודים בתת הגרף (כל קודקוד בדרך שייך לתת הגרף) ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות עיבוד מקדים: ייצג את הקלט כגרף לא מכוון G=(V,E), כך שהקודקודים ייצגו את הערים והצלעות את הדרכים. נייצג את הגרף כרשימת סמיכויות. זמן עיבוד וזיכרון : O(n + m) הגדר מערך C בגודל n. המערך ישמור את הנציג של רכיב הקשירות עבור כל קודקוד. עבור כל קודקוד v בגרף G: אם ל v אין נציג, הוא חלק מרכיב קשירות אשר לא התגלה. הפעל DFS מ – v וסמן במערך C את v כנציג של כל הקודקודים שהתגלו בהרצת הDFS. אחרת אם ל v יש נציג, הוא חלק מרכיב קשירות שכבר התגלה, לכן נדלג עליו. ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות זמן הריצה של העיבוד המקדים הוא O(n+m) מכיוון שבכל קודקוד נבקר פעמיים - פעם אחת בלולאה החיצונית (סעיף 3 באלגוריתם), ועוד פעם כאשר נבקר בו בזמן שנריץ BFS\DFS מאחד הקודקודים ברכיב הקשירות. בנוסף נבקר בכל צלע פעם אחת. Reachable(i,j): יחזיר TRUE אמ"מ קודקוד i וקודקוד j שייכים לאותו רכיב קשירות, כלומר C[i] = C[j] זמן ריצה : O(1) ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 2 – רכיבי קשירות זמן הריצה של העיבוד המקדים הוא O(n+m) מכיוון שבכל קודקוד נבקר פעמיים - פעם אחת בלולאה החיצונית (סעיף 3 באלגוריתם), ועוד פעם כאשר נבקר בו בזמן שנריץ BFS\DFS מאחד הקודקודים ברכיב הקשירות. בנוסף נבקר בכל צלע פעם אחת. Reachable(i,j): יחזיר TRUE אמ"מ קודקוד i וקודקוד j שייכים לאותו רכיב קשירות, כלומר C[i] = C[j] זמן ריצה : O(1) ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 3 – רדוקציה רדוקציה - תזכורת: נניח שיש לנו שתי בעיות 𝑃 1 , 𝑃 2 . נניח שיש לנו שתי בעיות 𝑃 1 , 𝑃 2 . יש לנו אלגוריתם שפותר את 𝑃 2 . רדוקציה מבעיה 𝑃 1 לבעיה 𝑃 2 זוהי דרך לפתור את הבעיה 𝑃 1 בעזרת האלגוריתם לפתרון 𝑃 2 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 3 - רדוקציה בהינתן גרף לא מכוון G = (V,E), (G קשיר). שאלה 3 - רדוקציה בהינתן גרף לא מכוון G = (V,E), (G קשיר). נגדיר עבור כל 2 קבוצות של קודקודים 𝑉1 ו 𝑉2 כך ש 𝑉 1 ∪ 𝑉 2 ⊆𝑉 : distance(u,v) – אורך המסלול הקצר ביותר מ u ל-v ב G. distance(V1, V2) – min 𝑣∈ 𝑉 1 ,𝑢∈ 𝑉 2 {𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑢,𝑣 } אורך המסלול הקצר ביותר מקודקוד ב 𝑉 1 לקודקוד ב 𝑉 2 (הערה: אם 𝑉1∩ 𝑉 2 ≠∅ אז distance(𝑉1, 𝑉2)=0) מצא את distance(V1, V2) בזמן ריצה 𝑶(|𝑽|+|𝑬|) 1 3 4 5 2 6 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 3 - רדוקציה פתרון: נגדיר גרף חדש G'=(V',E') מהגרף הישן G = (V,E). שאלה 3 - רדוקציה פתרון: נגדיר גרף חדש G'=(V',E') מהגרף הישן G = (V,E). נוסיף 2 קודקודים s ו t ל V, נחבר את s לכל קודקוד ב 𝑉 1 ונחבר את t לכל קודקוד ב 𝑉 2 ונריץBFS כדי לגלות את אורך המסלול הקצר ביותר מ s ל t. אורך המסלול הקצר ביותר מ s ל t יהיה distance(V1, V2) + 2 1 s 3 4 5 t 2 6 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 3 - רדוקציה Solution: 𝑉 ′ ←𝑉∪ 𝑠,𝑡 שאלה 3 - רדוקציה Solution: 𝑉 ′ ←𝑉∪ 𝑠,𝑡 𝐸 ′ ←𝐸∪ 𝑠,𝑢 :𝑢∈ 𝑉 1 ∪ 𝑣,𝑡 :𝑣∈ 𝑉 2 Execute BFS from s // Finding d(t). return 𝑑(𝑡) – 2 Runtime: 𝑂(|𝑉|) + 𝑂(|𝑉|) + 𝑂(|𝑉| + |𝐸|) + 𝑂(1) = 𝑂(|𝑉| + |𝐸|) ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 4 הצע אלגוריתם הקובע האם בגרף לא מכוון קיים מעגל (באורך גדול מ-1) הרץ בזמן ריצה 𝑂(|𝑉|) שימו לב כי זמן הריצה אינו תלוי ב E ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 4 פתרון: טענה: גרף לא מכוון אינו מכיל מעגלים אמ"מ בהפעלת DFS על הגרף לא יתגלו צלעות אחורה. תזכורת: צלע (u,v) נקראת צלע אחורה אם u אב קדמון של v אך הצלע (u,v) אינה צלע בעץ שנוצר ע"י ה-DFS ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 4 בהרצת DFS על גרף לא מכוון, יש רק 2 סוגי צלעות: פתרון: טענה: גרף לא מכוון אינו מכיל מעגלים אמ"מ בהפעלת DFS על הגרף לא יתגלו צלעות אחורה. בהרצת DFS על גרף לא מכוון, יש רק 2 סוגי צלעות: צלעות עץ וצלעות אחורה. ניתן לשנות את אלגוריתם ה-DFS כך שהוא יסווג קשתות כשהוא מגלה אותן. אם הגענו לקודקוד אפור (הגענו דרך צלע אחורה), זה אומר שחזרנו לקודקוד שכבר ביקרנו בו, ולכן בגרף יש מעגל. ds182-ps12 08.08.2019

מסקנה: זמן ריצת האלגוריתם הוא O(|V|). שאלה 4 Solution: Acyclic(G=(V,E)) Execute DFS on the graph while: If DFS visits a grey node, return "cycle“ עובדה: גרף לא מכוון עם לפחות |V| קשתות בהכרח מכיל מעגל. אם בגרף יש מעגל,אז במקרה הגרוע ביותר האלגוריתם יגלה |V|-1 קשתות שונות בגרף לפני שיגיע לקשת אחורה (קשת אל קודקוד אפור). אם בגרף אין מעגל, אז הוא מכיל לכל היותר |V|-1 קשתות, ולכן האלגוריתם יסתיים לאחר שיעבור על לכל היותר |V|-1 קשתות. מסקנה: זמן ריצת האלגוריתם הוא O(|V|). גרף ללא מעגלים תמיד מכיל לכל היותר v-1 צלעות ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הגדרה: קודקוד בגרף מכוון נקרא super-sink אם דרגת היציאה שלו היא 0, ודרגת הכניסה שלו היא |V|-1 דוגמה: ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 נתון גרף מכוון G=(V,E) המיוצג בעזרת מטריצת סמיכויות. הציעו אלגוריתם שרץ בזמן O(|V|) המוצא האם קיים super-sink בגרף, ואם כן מחזיר אותו. רעיון: אם הקודקוד vi הוא super-sink, אז כל השורה שלו היא אפסים, וכל העמודה שלו (פרט לתא [i,i]) היא אחדות. i x x 1 x 0 0 0 0 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: 8 7 6 5 4 3 2 1 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: v6 מועמד יחיד להיות super-sink. למה? 8 7 6 5 4 3 2 1 v6 מועמד יחיד להיות super-sink. למה? ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: נבדוק אם כל השורה אפסים והעמודה אחדות 8 7 6 5 4 3 2 1 נבדוק אם כל השורה אפסים והעמודה אחדות v6 אכן super-sink ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: במקרה זה 2 מועמד, למה 6 לא יכול להיות מועמד? 8 7 6 4 3 2 1 במקרה זה 2 מועמד, למה 6 לא יכול להיות מועמד? ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 הדגמת פתרון: במקרה זה 2 מועמד, למה 6 לא יכול להיות מועמד? 8 7 6 4 3 2 1 כי היה צריך להיות פה 1 כדי ש 6 יהיה super-sink במקרה זה 2 מועמד, למה 6 לא יכול להיות מועמד? ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 5 פתרון: זמן ריצה: הלולאה לוקחת לכל היותר (n+n) צעדים, ובדיקת כל השורה והעמודה לוקח 2n צעדים. סה"כ T(n)=O(n). מה לגבי תחזוק סכום בסוף כל שורה ועמוד במטריצה? ds182-ps12 08.08.2019

מיון טופולוגי Topological-Sort סידור קודקודים של גרף מכוון חסר מעגלים – directed acyclic graph (DAG) , 𝐺= 𝑉,𝐸 כך ש: אם יש מסלול מ𝑣 ל𝑢 ב𝐺 אז 𝑣 מופיע לפני 𝑢 בסידור. יכולים להיות מספר פתרונות לבעיה, לדוגמא: בצע DFS על הגרף לחישוב 𝑓 𝑣 כשהביקור בכל קודקוד נגמר והוא נצבע בשחור, הכנס אותו כראש רשימה מקושרת. החזר את הרשימה המקושרת של הקודקודים. Time Complexity: O(|V|+|E|) דוגמא ds182-ps12 08.08.2019

מיון טופולוגי הדגמה: מיון: מיון אחר: v1 v4 v2 v3 v6 v5 v1 v2 v4 v5 v3 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 נתונות 2 רשימות הציעו 2 אלגוריתמים, לבניית מערכת עבור רשימה A של קורסים נדרשים לתואר רשימה B של קדימויות, המכילה זוגות סדורים (x,y), שמציין שקורס x קדם של קורס y. הקדימויות הן ללא מעגלים. הציעו 2 אלגוריתמים, לבניית מערכת עבור סטודנט עצלן שרוצה ללמוד רק קורס אחד בסמסטר סטודנט חרוץ שרוצה לסיים את כל הקורסים מוקדם ככל האפשר, ומוכן ללמוד את כל הקורסים שאפשר במקביל. ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 דוגמה: { Alg, Eng, Ds1, Ds2, Mat, Ph1, Ph2 } = A = B { (Alg, Ds2), (Ds1, Ds2), (Mat, Ds1), (Ph1, Ph2) } ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 פתרון לסטודנט עצלן: נסתכל על הרשימות כגרף מכוון, כאשר הקורסים הינם הקודקודים והקדימויות הינם הצלעות. נמיין את הגרף טופולוגית, ואז נעבור עליו לפי הסדר, וכל קורס יהיה בסמסטר. ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 פתרון לסטודנט עצלן, דוגמה: Mat Alg Ds1 Ds2 Ph1 Ph2 Eng 1 2 3 4 5 6 7 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי: נעבור על הקודקודים ונשמור את דרגת הכניסה שלהם – O(|V|+|E|) ניצור רשימה של כל הקודקודים עם דרגת כניסה 0 – O(|V|) בלולאה: עוברים על כל הקודקודים בדרגת כניסה 0, מכניסים אותם לרשימת המיון הטופולוגי, ומורידים 1 מכל השכנים שלהם, תוך כדי יצירת רשימה חדשה של קודקודים עם דרגה 0 O(d(v)) לכל קודקוד, לכן סה"כ לכל הלולאה – O(|V|+|E|) ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי, הדגמה: תוצאה: ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי, הדגמה: תוצאה: סיבוב 0: Eng Mat Alg 1 Ds1 2 Ds2 Ph1 Ph2 1 סיבוב 0: קודקודים עם דרגת כניסה 0: Eng Alg Mat Ph1 תוצאה: ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי, הדגמה: תוצאה: סיבוב 1: Eng Mat Alg Ds1 1 Ds2 Ph1 Ph2 סיבוב 1: קודקודים עם דרגת כניסה 0: Ds1 Ph2 תוצאה: Eng Alg Mat ds182-ps12 Ph1 08.08.2019

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי, הדגמה: תוצאה: סיבוב 2: Eng Mat Alg Ds1 Ds2 Ph1 Ph2 סיבוב 2: קודקודים עם דרגת כניסה 0: Ds2 תוצאה: Eng Alg Mat ds182-ps12 Ph1 Ds1 Ph2 08.08.2019

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי, הדגמה: תוצאה: Eng Mat Alg Ds1 Eng Mat Alg Ds1 Ds2 Ph1 Ph2 תוצאה: Eng Alg Mat ds182-ps12 Ph1 Ds1 Ph2 08.08.2019 Ds2

שאלה 6 פתרון לסטודנט החרוץ: נבצע את המיון הטופולוגי הנ"ל, כך שאת כל הקודקודים עם דרגת כניסה 0 בסיבוב הi- נכניס לסמסטר הi+1. ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי, הדגמה: תוצאה: סיבוב 0: Eng Mat Alg 1 Ds1 2 Ds2 Ph1 Ph2 1 סיבוב 0: Eng Alg Mat Ph1 קודקודים עם דרגת כניסה 0: תוצאה: ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי, הדגמה: תוצאה: סיבוב 1: Eng Mat Alg Ds1 1 Ds2 Ph1 Ph2 סיבוב 1: קודקודים עם דרגת כניסה 0: Eng Ds1 Ph2 Alg Mat תוצאה: ds182-ps12 08.08.2019 Ph1

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי, הדגמה: תוצאה: סיבוב 2: Eng Mat Alg Ds1 Ds2 Ph1 Ph2 סיבוב 2: קודקודים עם דרגת כניסה 0: Ds2 Eng Alg Mat Ds1 תוצאה: ds182-ps12 08.08.2019 Ph1 Ph2

שאלה 6 אלגוריתם חלופי למיון טופולוגי, הדגמה: תוצאה: Eng Mat Alg Ds1 Eng Mat Alg Ds1 Ds2 Ph1 Ph2 Eng Alg Mat Ds1 תוצאה: ds182-ps12 08.08.2019 Ph1 Ph2 Ds2

שאלה 7 נתון DAG (directed acyclic graph - גרף מכוון ללא מעגלים), בו כל הצלעות ממושקלות. הציעו אלגוריתם בזמן O(|V|+|E|) למציאת המשקל של המסלול עם המשקל המקסימלי. דוגמה: 1 6 3 5 2 10 המשקל המקסימלי של מסלול כלשהו בגרף הוא 13 4 8 ds182-ps12 08.08.2019

A[i] = max{A[j]+w(vj,vi) : (vj,vi)E } שאלה 7 נתון DAG (directed acyclic graph - גרף מכוון ללא מעגלים), בו כל הצלעות ממושקלות. הציעו אלגוריתם בזמן O(|V|+|E|) למציאת המשקל של המסלול עם המשקל המקסימלי. רעיון הפתרון: נמיין את הגרף טופולוגית, ואז בכל קודקוד, המשקל המקסימלי של מסלול עד אליו הוא המקסימום של {המשקל המקסימלי של מסלול עד קודקוד עם קשת אליו + משקל הקשת} A[i] = max{A[j]+w(vj,vi) : (vj,vi)E } v1 v2 v4 v5 v3 v6 1 2 3 4 5 6 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 7 פתרון: נמיין את G טופולוגית – O(|V|+|E|). נסמן את המיון כ{v1,…,vn} לכל קודקוד v נבנה רשימה של in-vertices, כלומר קודקודים u כך ש(u,v)∈E – O(|V|+|E|) נגדיר מערך A בגודל |V|, כך שבסיום יתקיים A[i] = משקל המסלול הכבד ביותר המסתיים בvi עבור i מ1 עד n נחשב A[i]=max{A[j]+w(vj,vi)|(vj,vi)∈E} (נשים לב שכיוון שמיינו טופולוגית, כל הA[j] הרלוונטיים כבר חושבו כאשר נרצה לחשב את A[i]) נחזיר את max{A[1],…,A[n]} – O(|V|) ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 7 MaxPath(G) v1, v2, …, vn ← TopologicalSort(G) Create-in-edges-lists() A ← new array [1..n] A[1] ← 0 for i ← 2 to n do A[i] ← max{A[j]+w(j,i) : j  in_edges_list[i] } return max{A[1],A[2],…,A[n]} ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 7 We design the algorithm: Express the solution to a problem in terms of solutions to smaller problems. Solve all the smallest problems first and put their solutions in a table Solve the next larger problems, and so on, up to the problem, we originally wanted to solve. Each problem should be easily solvable by looking up and combining solutions of smaller problems in the table. Time Complexity: O(|V|+|E|) v1 v2 v4 v5 v3 v6 1 2 3 4 5 6 ds182-ps12 08.08.2019

שאלה 7 הדגמת פתרון: v2 1 v1 6 A 3 5 v5 2 10 1 v4 v3 2 1 3 5 4 8 v6 4 4 5 7 v1 v2 v3 v4 v5 v6 1 2 4 5 10 3 8 6 6 13 כיצד ניתן לשנות את האלגוריתם כך שגם יחזיר את המסלול הכבד ביותר? ds182-ps12 08.08.2019

מה למדנו? BFS DFS Topological Sort ds182-ps12 08.08.2019

תרגול בבית Update the BFS algorithm so that every vertex v in the graph contains not only d[v], the length of shortest path from s to v, but also the number of different paths of that length. ds182-ps12 08.08.2019

תרגול בבית Solution: Each node u in the graph will contain an extra field: M(u) - the number of different paths to u of length d(u). Initialize M(v)0 for all the vertices except s. initialize M(s)1. For each vertex u, when going over the neighbors v of u: if v is a white neighbor then M(v)  M(u) else // v is not a white neighbor of u if d(v) = d(u)+1 M(v)  M(v) + M(u) ds182-ps12 08.08.2019