תנועה הרמונית תנועה מחזורית : לכל נקודה ונקודה: 𝒙 𝒕 =𝒙 𝒕+𝑻 הרצאה 11 תנועה הרמונית תנועה מחזורית : לכל נקודה ונקודה: 𝒙 𝒕 =𝒙 𝒕+𝑻 זמן המחזור – T – הפרש הזמנים בין שני מצבים סמוכים של שווין המיקום של הגוף. 𝒗 𝒕 =𝒗 𝒕+𝑻 𝒂 𝒕 =𝒂 𝒕+𝑻 תנועה הרמונית היא מקרה פרטי של תנועה מחזורית שבו הכוח השקול הפועל על הגוף הוא לינארי בהעתק מנקודת שיווי המשקל ומחזיר את הגוף לשיווי המשקל: 𝑭=−𝑪𝒙
משוואת תנועה הרמונית פשוטה צורתה הכללית של משוואה המתארת תנועה הרמונית פשוטה של המסה m היא: =− 𝐶 𝑚 𝑥 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 C היא קבוע שתלוי בתכונות של המערכת. הפתרון של המשוואה הוא: כאשר 𝝎= 𝑪 𝒎 היא התדירות הזוויתית של התנועה, A – משרעת (אמפליטודת) התנועה – היא ההעתק הגדול ביותר של המסה מנקודת שיווי המשקל: 𝒙 𝒎𝒂𝒙 =𝑨 , 𝝋 – זווית המופע (הפאזה) ההתחלתית –היא קובעת את מצבה ההתחלתי של המסה. פרמטרים A ו- 𝝋 נקבעו על-פי מצב המערכת בתחילת התנועה. 𝑥=𝐴 cos 𝜔𝑡+𝜑
משוואת תנועה הרמונית פשוטה (המשך) מחזור התנועה: 𝑻= 𝟐𝝅 𝝎 וקשר בין תדירות התנודות f לבין התדירות הזוויתית הוא: 𝒇= 𝟏 𝑻 = 𝝎 𝟐𝝅 מהירות של המסה בתנועה הרמונית היא: 𝒗= 𝒅𝒙 𝒅𝒕 =−𝝎𝑨 sin 𝜔𝑡+𝜑 והתאוצה: 𝒂= 𝒅𝒗 𝒅𝒕 =− 𝝎 𝟐 𝑨 cos 𝜔𝑡+𝜑 =− 𝝎 𝟐 𝒙 אם ב-t=0 המיקום והמהירות ההתחלתית של הגוף הם: x0 ו-v0 , הפרמטרים A ו-𝝋 נקבעו על-פי הנוסחאות: 𝑨= 𝒙 𝟎 𝟐 + 𝒗 𝟎 𝟐 𝝎 𝟐 𝑎𝑛𝑑 𝝋=− tan −𝟏 𝒗 𝟎 𝒙 𝟎 𝝎
תיאור גרפי של תנועה הרמונית פשוטה גרפים של 𝒙 𝒕 , 𝒗 𝒕 , 𝒂 𝒕
תנועה הרמונית פשוטה: דוגמה 1 גוף מחובר לקפיץ על שולחן חלק אופקי 𝐶≡𝑘 𝑑 2 𝑥 𝑑 𝑡 2 =− 𝑘 𝑚 𝑥 𝜔= 𝑘 𝑚
אנרגיה בתנועה הרמונית אנרגיה קינטית של הגוף המחובר לקפיץ ואנרגיה פוטנציאלית של הקפיץ:
תנועה הרמונית פשוטה: דוגמה 2 מטוטלת מתמטית: אם זווית מקסימלית בתנודה קטנה: sin 𝜽 ≈𝜽 :
תנועה הרמונית פשוטה: דוגמה 3 מטוטלת פיסיקאלית אם זווית מקסימלית בתנודה קטנה: sin 𝜽 ≈𝜽 :
תנועה הרמונית פשוטה: דוגמה 4
תנועה הרמונית פשוטה: דוגמה 5
חילופי אנרגיה במערכת מסה-קפיץ ובמטוטלת
תנודות של אטומים במולקולה אטומים במולקולה קשורים בכוחות שמחזירים אותם במצב שיווי המשקל בכל סטייה ממנו. בסטיות קטנות תנועה של אטומים כמעת הרמונית
הפתרון של משוואת התנועה: תנועה הרמונית מרוסנת הדוגמה לתנועה מרוסנת: תנועה תחת השפעת כוח גרר: הפתרון של משוואת התנועה:
תנועה הרמונית מאולצת כוח חיצוני פועל על הגוף אשר מבצע תנודות עם התדירות זוויתית 𝜔: הפתרון של המשווה הוא: המערכת מבצעת תנודות עם תדירות הכוח החיצוני. אם התדירות קרובה לתדירות הטבעית של המערכת 𝝎 𝟎 , אמפליטודה עולה (תהודה).