הורד מצגת
המצגת נטענת. אנא המתן
1
S. Even, "Graph Algorithms", Computer Science Press, 1979
קומבינטוריקה למדעי-המחשב Graph theory – תורת הגרפים Chapter 1: PATHS IN GRAPHS – מסלולים בגרפים מבוסס על הספר: S. Even, "Graph Algorithms", Computer Science Press, 1979 שקפים, ספר וחומר רלוונטי נוסף באתר הקורס: Slides, book and other related material at: R. Bar-Yehuda ©
2
1.1 INTRODUCTION TO GRAPH THEORY
Figure 1.1 e4 e1 v2 e2 v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda ©
3
Set of vertices V קבוצת צמתים V = {v1, v2, v3, v4, v5}
Figure 1.1 e4 e1 v2 e2 v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda ©
4
Set of edges E קבוצת קשתות E = {e1, e2, e3, e4 , e5}
v2 e2 v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda ©
5
Graph G(V, E) (or G = (V, E)) גרף
R. Bar-Yehuda ©
6
דוגמא לגרף לא-סופי: Finite Graph גרף סופי
כמעט תמיד (אלא אם יצוין אחרת) גם V וגם E יהיו קבוצות סופיות. במקרה זה נאמר שהגרף G=(V,E) הוא גרף סופי דוגמא לגרף לא-סופי: G = (N, {(i, j) : i = 2*j}) R. Bar-Yehuda ©
7
self loops parallel edges וחוגים עצמיים קשתות מקבילות
v2 e2 חוג עצמי קשתות מקבילות v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda ©
8
e u v edge (arc, link …) קשת
כל קשת מקושרת ( incident) לשני צמתים U ו-V (לא בהכרך שונים!) קבוצת הצמתים המקושרת לקשת היא זוג לא סדור {V,U} נאמר גם: ש-U ו-V הם הקצוות (endpoints) של הקשת e וגם ש-e מחברת את U ו-V וגם כי U ו-V הם שכנים או סמוכים (adjacent) סימון: u_e_v e u v R. Bar-Yehuda ©
9
דרגה (Degree) של צומת d(v) = מספר הפעמים ש-v הינה קצה של קשת
d(v3) = 0 Isolated (מבודד) e3 v4 d(v4) = 1 R. Bar-Yehuda ©
10
סכום דרגות בגרף סופי d(v1)+d(v2)+d(v3)+d(v4)+d(v5)=4+3+0+1+2=10=2|E|
R. Bar-Yehuda ©
11
סכום הדרגות בגרף סופי משפט: יהי G=(V,E) גרף סופי. אזי
הוכחה: נדמיין רשימה e1,e2,…e|E| של כל הקשתות ולכל קשת נרשום את שני הקצוות שלה e1, e2, e|E| {u1,v1},{u2,v2},…{u|E|, v|E|} R. Bar-Yehuda ©
12
סכום הדרגות בגרף סופי (2)
סכום הדרגות בגרף סופי (2) e1 e4 לדוגמא: e2 v2 v5 v1 e5 v3 e3 v4 e e e e e5 v1 v1 v1 v2 v1 v4 v2 v5 v2 v5 הרשימה: R. Bar-Yehuda ©
13
סכום הדרגות בגרף סופי (3)
סכום הדרגות בגרף סופי (3) הרשימה: {u1,v1},{u2,v2},…{u|E|, v|E|} מצד אחד: הדרגה של צומת v היא מספר הפעמים ש-v מופיע ברשימה. לכן מספר האיברים ברשימה = סכום הדרגות מצד שני: יש בדיוק 2|E| איברים (צמתים) ברשימה R. Bar-Yehuda ©
14
הוכחה נוספת: אם כל קשת "תשלם" לכל אחד משני קצותיה 1$
סכום דרגות בגרף סופי הוכחה נוספת: אם כל קשת "תשלם" לכל אחד משני קצותיה 1$ 2 דולרים ·| Eסה"כ תשלומים = | דולריםd(v) מגיעים בסה"כ vל- $↔$ $↔$ $↔$ v2 $↔$ v5 v1 $↔$ R. Bar-Yehuda ©
15
זוגיות הדרגות בגרף סופי
זוגיות הדרגות בגרף סופי מהמשפט נובע: מספר הצמתים בעלי דרגה אי-זוגית הוא זוגי (למה 1.1 בספר של אבן) הוכחה: 2|E| הוא זוגי ולכן גם נפחית את סכום הדרגות הזוגיות ונקבל מספר זוגי. R. Bar-Yehuda ©
16
דוגמא אורך המסלול : Path מסלול d e2 e3 e1 c b a e4
R. Bar-Yehuda ©
17
Circuit מעגל דוגמא אורך המעגל : d e2 e3 e1 c b a e4
R. Bar-Yehuda ©
18
מסלול ומעגל פשוט מסלול נקרא פשוט אם אין בו צומת המופיע בו יותר מפעם אחת מעגל נקרא פשוט אם אין בו אף צומת המופיע יותר מפעם אחת, חוץ מצומת ההתחלה/סיום. כמו כן נדרוש שצומת ההתחלה/סיום לא יופיע בשום מקום אחר במסלול. למרות האמור לעיל המעגל אינו נחשב פשוט R. Bar-Yehuda ©
19
Connected graphs גרפים קשירים
גרף יקרא קשיר (connected) אם לכל שני צמתים u ו- v קיים מסלול אשר נקודת ההתחלה שלו היא u ונקודת הסיום היא v. a b c d e4 e3 e2 e1 y x e5 דוגמא לגרף לא קשיר: R. Bar-Yehuda ©
20
Cut חתך חתך (cut) בגרף G=(V,E) הוא תת-קבוצה S של קבוצת הצמתים V. נאמר שקשת e חוצה (crosses) את החתך S אם קצה אחד של e נמצא ב-S, והקצה השני מחוץ ל-S. חתך d קשתות חוצות דוגמא לחתך: קשת לא-חוצה c a b R. Bar-Yehuda ©
21
חתכים בגרפים קשירים החתך לא נחצה
טענה: גרף קשיר אם"ם לכל חתך לא ריק יש לפחות קשת חוצה אחת כלומר: d y e2 החתך לא נחצה e5 e1 e3 c a b x e4 R. Bar-Yehuda ©
22
גרף פשוט גרף לא-מכוון יקרא פשוט אם אין בו חוגים עצמיים וקשתות מקבילות
גרף כללי (לא פשוט) נקרא לעיתים: multi-graph בגרף G=(V,E) פשוט: E µ V£ V תרגיל רשות: בגרף פשוט R. Bar-Yehuda ©
23
Digraph גרף מכוון e4 e1 v2 e2 v5 v1 e5 v3 e3 v4
R. Bar-Yehuda ©
24
Set of vertices V קבוצת צמתים V = {v1, v2, v3, v4, v5}
R. Bar-Yehuda ©
25
Set of edges E קבוצת קשתות E = {e1, e2, e3, e4 , e5}
v2 e2 e1 v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda ©
26
DiGraph G(V, E) גרף מכוון
R. Bar-Yehuda ©
27
Finite Graph גרף מכוון סופי
כמעט תמיד (אלא אם יצוין אחרת) גם V וגם E יהיו קבוצות סופיות. במקרה זה נאמר שהגרף G=(V,E) הוא גרף סופי דוגמא לגרף לא-סופי: G = (N, {(i j) : j = 2*i}) R. Bar-Yehuda ©
28
self loops untiparallel and parallel edges חוגים עצמיים ואנטי-מקבילות קשתות מקבילות
v2 חוג עצמי קשתות מקבילות קשתות אנטי-מקבילות v5 v1 e6 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda ©
29
כמו כן נאמר שהקשת מכוונת (directed) מ-u ל-v.
קשת בגרף מכוון בגרף מכוון: צמתי הקצה של קשת מהווים זוג סדור (u,v). הצומת u נקרא צומת ההתחלה (start-vertex) של הקשת והצומת v נקרא צומת הסיום (end-vertex). כמו כן נאמר שהקשת מכוונת (directed) מ-u ל-v. u v e R. Bar-Yehuda ©
30
דרגת היציאה (out-degree) של צומת v, dout(v), היא מספר הפעמים ש-v הינו צומת-התחלה של קשת
R. Bar-Yehuda ©
31
דרגת הכניסה (in-degree) של צומת v, din(v), היא מספר הפעמים ש-v הינו צומת-סיום של קשת
din(v3)=dout(v3) = 0 Isolated (מבודד) e3 v4 din(v4) = 1 R. Bar-Yehuda ©
32
טענה: בגרף סופי סכום דרגות הכניסה = מספר הקשתות
סכום דרגות בגרף סופי טענה: בגרף סופי סכום דרגות הכניסה = מספר הקשתות הוכחה: אם כל קשת "תשלם" לצומת הסיום שלה 1$ 1 דולרים·| Eסה"כ תשלומים = | דולריםdin(v) מגיעים בסה"כ vל- השוויון השני - אנלוגי $ $ v2 $ v5 v1 $ $ R. Bar-Yehuda ©
33
Directed path מכוון מסלול
דוגמא אורך המסלול : d e2 e3 e1 c a b e4 R. Bar-Yehuda ©
34
Directed cycle מכוון מעגל
דוגמא אורך המעגל : d e5 e2 e3 e1 c a b e4 R. Bar-Yehuda ©
35
מסלול ומעגל פשוט – באופן דומה...
מסלול נקרא פשוט אם אין בו צומת המופיע בו יותר מפעם אחת מעגל נקרא פשוט אם אין בו אף צומת המופיע יותר מפעם אחת, חוץ מצומת ההתחלה/סיום. כמו כן נדרוש שצומת ההתחלה/סיום לא יופיע בשום מקום אחר במסלול. R. Bar-Yehuda ©
36
Strongly connected graphs גרפים קשירים היטב
גרף מכוון יקרא קשיר-היטב (strongly connected) אם לכל זוג צמתים u ו-v, קיים מסלול מכוון שנקודת ההתחלה שלו היא u ונקודת הסיום שלו היא v. a b c d y x דוגמא לגרף לא קשיר היטב: R. Bar-Yehuda ©
37
The underline graph of digraph גרף התשתית של גרף מכוון
= הגרף הלא מכוון המתקבל מ"מחיקת" הכוונים דוגמא לגרף מכוון לא קשיר-היטב אבל גרף התשתית שלו קשיר d x y x x x x c a b x x x R. Bar-Yehuda ©
מצגות קשורות
