שיעור ג1: מערכת צירים תלת מימדית

מצגת בנושא: "שיעור ג1: מערכת צירים תלת מימדית"— תמליל מצגת:

1 שיעור ג1: מערכת צירים תלת מימדית
וקטורים – הווקטור האלגברי שיעור ג1: מערכת צירים תלת מימדית אודות

2 מה מצפה לנו היום? היום נלמד על מערכת צירים תלת מימדית
ייצוג נקודה במרחב במערכת צירים תלת ממדית חלוקת המרחב על ידי מישורי הצירים סיכום

3 המישור [ x , y ] | תיאור נקודה במישור הדו-ממדי
בדומה להצגת נקודה במישור בעזרת מערכת צירים דו-ממדית, באפשרותנו להציג נקודה במרחב בעזרת מערכת צירים תלת ממדית. במערכת צירים דו-ממדית, אנו בוחרים נקודה O כראשית הצירים ושני צירים המאונכים זה לזה. לכל נקודה במישור אנו מתאימים זוג סדור של מספרים (x , y). x הוא מרחק הנקודה מציר ה-y. y הוא מרחק הנקודה מציר ה-x . ראו שרטוט: לדוגמא, בשרטוט, מרחק A מציר y הוא 3. מרחק A מציר x הוא 2. לכן שיעורי הנקודה A הם (3 ,2). למישור זה אנו קוראים המישור [x , y].

4 מעבר לשלושה ממדים | תיאור נקודה הנמצאת במישור [x,y]
כדי לתאר נקודה במרחב התלת ממדי, אנו מוסיפים למישור [x , y ] , בראשית הצירים O, ציר נוסף, ציר z, הניצב לשני הצירים x ו-y (ולכן ניצב למישור [x ,y ]). כל נקודה במרחב תתואר במערכת צירים זו על-ידי שלושה שיעורים. ( x , y , z ) באופן הבא: אם הנקודה נמצאת במישור [x,y] אז שני השיעורים x ו-y יהיו כמו בהצגה הדו-ממדית של מישור זה. שיעור ה-z הוא 0. לדוגמא: הנקודה A(3,2) במישור [x,y] (שרטוט מימין), מתוארת במרחב התלת ממדי על-ידי A ( 3 , 2 , 0 ) (שרטוט משמאל).

5 מעבר לשלושה ממדים | תיאור נקודה שאינה במישור [x,y]
כדי לתאר נקודה במרחב התלת ממדי, אנו מוסיפים למישור [x , y ] , בראשית הצירים O, ציר נוסף, ציר z, הניצב לשני הצירים x ו-y (ולכן ניצב למישור [x ,y ]). כל נקודה במרחב תתואר במערכת צירים זו על-ידי שלושה שיעורים. ( x , y , z ) באופן הבא: אם הנקודה נמצאת במישור [x,y] אז שני השיעורים x ו-y יהיו כמו בהצגה הדו-ממדית של מישור זה. שיעור ה-z הוא 0. אם הנקודה A אינה במישור [x,y] , נוריד מהנקודה A אנך למישור [x,y] שיחתוך מישור זה בנקודה B(x,y,0). שני השיעורים x ו-y של A שווים לשיעורי x ו-y של הנקודה B. כאשר הנקודה A נמצאת "מעל" למישור [x,y] שיעור ה-z הוא מרחק הנקודה A מהמישור [x,y]. ראו שרטוט.

6 דוגמא לדוגמא, אם נרים את הנקודה B(3,2,0) מהמישור [x,y] ביחידה אחת, תתקבל הנקודה A(3,2,1).

7 השלמת תיבה וקריאת השיעורים
אפשר להשלים תיבה כבשרטוט הימני: ולקרוא את שיעורי הנקודה A על כל ציר.

8 מישורי הצירים | מישור [x,y]
במערכת צירים תלת ממדית קיימים שלושה מישורים אשר כל אחד מהם מכיל זוג צירים. היכרנו את המישור [x,y] המכיל את הצירים x ו-y. שיעורי כל נקודה בו הם (x,y,0).

9 מישורי הצירים | מישור [x,z]
במערכת צירים תלת ממדית קיימים שלושה מישורים אשר כל אחד מהם מכיל זוג צירים. היכרנו את המישור [x,y] המכיל את הצירים x ו-y. שיעורי כל נקודה בו הם (x,y,0) באופן דומה קיים מישור [x,z] המכיל את הצירים x ו-z. מהו שיעור y של כל הנקודות במישור זה? (x ,?, z)

10 מישורי הצירים | מישור [x,z]
במערכת צירים תלת ממדית קיימים שלושה מישורים אשר כל אחד מהם מכיל זוג צירים. היכרנו את המישור [x,y] המכיל את הצירים x ו-y. שיעורי כל נקודה בו הם (x,y,0) באופן דומה קיים מישור [x,z] המכיל את הצירים x ו-z. בכל נקודה במישור [x,z] שיעור ה-y הוא 0. שיעורי כל נקודה בו הם (x,0,z).

11 מישורי הצירים | מישור [y,z]
במערכת צירים תלת ממדית קיימים שלושה מישורים אשר כל אחד מהם מכיל זוג צירים. היכרנו את המישור [x,y] המכיל את הצירים x ו-y. שיעורי כל נקודה בו הם (x,y,0) באופן דומה קיים מישור [x,z] המכיל את הצירים x ו-z. בכל נקודה במישור [x,z] שיעור ה-y הוא 0. שיעורי כל נקודה בו הם (x,0,z). מישור [y,z] מכיל את הצירים y ו-z. מהו שיעור x של כל הנקודות במישור זה? (? ,y,z)

12 מישורי הצירים | מישור [y,z]
במערכת צירים תלת ממדית קיימים שלושה מישורים אשר כל אחד מהם מכיל זוג צירים. היכרנו את המישור [x,y] המכיל את הצירים x ו-y. שיעורי כל נקודה בו הם (x,y,0) באופן דומה קיים מישור [x,z] המכיל את הצירים x ו-z. בכל נקודה במישור [x,z] שיעור ה-y הוא 0. שיעורי כל נקודה בו הם (x,0,z). מישור [y,z] המכיל את הצירים y ו-z. שיעורי כל נקודה בו הם (0,y,z).

13 תרגיל 1 | ייצוג נקודות מערכת צירים תלת ממדית
להלן נתונות נקודות שונות. A(5,1,0), B(5,0,0), C(0,0,3), D(1,0,3), E(0,-2,0), F(0,1,-2), G(-2,1,-2) קבעו עבור כל נקודה האם היא נמצאת על: ציר ה-x , ציר ה-y , ציר ה-z או על אף אחד מהצירים. לגבי כל נקודה שאינה על אחד הצירים, קבעו האם היא במישור [x,y], [y,z] או [x,z] .

14 תרגיל 1 | פתרון A להלן נתונות נקודות שונות.
A(5,1,0), B(5,0,0), C(0,0,3), D(1,0,3), E(0,-2,0), F(0,1,-2), G(-2,1,-2) קבעו עבור כל נקודה האם היא נמצאת על: ציר ה-x , ציר ה-y , ציר ה-z או על אף אחד מהצירים. לגבי כל נקודה שאינה על אחד הצירים, קבעו האם היא במישור [x,y], [y,z] או [x,z] . פתרון: A לא על ציר. A במישור [x,y].

15 תרגיל 1 | פתרון B להלן נתונות נקודות שונות.
A(5,1,0), B(5,0,0), C(0,0,3), D(1,0,3), E(0,-2,0), F(0,1,-2), G(-2,1,-2) קבעו עבור כל נקודה האם היא נמצאת על: ציר ה-x , ציר ה-y , ציר ה-z או על אף אחד מהצירים. לגבי כל נקודה שאינה על אחד הצירים, קבעו האם היא במישור [x,y], [y,z] או [x,z] . פתרון: B על ציר x.

16 תרגיל 1 | פתרון C להלן נתונות נקודות שונות.
A(5,1,0), B(5,0,0), C(0,0,3), D(1,0,3), E(0,-2,0), F(0,1,-2), G(-2,1,-2) קבעו עבור כל נקודה האם היא נמצאת על: ציר ה-x , ציר ה-y , ציר ה-z או על אף אחד מהצירים. לגבי כל נקודה שאינה על אחד הצירים, קבעו האם היא במישור [x,y], [y,z] או [x,z] . פתרון: C על ציר z.

17 תרגיל 1 | פתרון D להלן נתונות נקודות שונות.
A(5,1,0), B(5,0,0), C(0,0,3), D(1,0,3), E(0,-2,0), F(0,1,-2), G(-2,1,-2) קבעו עבור כל נקודה האם היא נמצאת על: ציר ה-x , ציר ה-y , ציר ה-z או על אף אחד מהצירים. לגבי כל נקודה שאינה על אחד הצירים, קבעו האם היא במישור [x,y], [y,z] או [x,z] . פתרון: D לא על ציר. D במישור [x,z].

18 תרגיל 1 | פתרון E להלן נתונות נקודות שונות.
A(5,1,0), B(5,0,0), C(0,0,3), D(1,0,3), E(0,-2,0), F(0,1,-2), G(-2,1,-2) קבעו עבור כל נקודה האם היא נמצאת על: ציר ה-x , ציר ה-y , ציר ה-z או על אף אחד מהצירים. לגבי כל נקודה שאינה על אחד הצירים, קבעו האם היא במישור [x,y], [y,z] או [x,z] . פתרון: E על ציר y.

19 תרגיל 1 | פתרון F להלן נתונות נקודות שונות.
A(5,1,0), B(5,0,0), C(0,0,3), D(1,0,3), E(0,-2,0), F(0,1,-2), G(-2,1,-2) קבעו עבור כל נקודה האם היא נמצאת על: ציר ה-x , ציר ה-y , ציר ה-z או על אף אחד מהצירים. לגבי כל נקודה שאינה על אחד הצירים, קבעו האם היא במישור [x,y], [y,z] או [x,z] . פתרון: F לא על ציר. F במישור [y,z].

20 תרגיל 1 | פתרון G להלן נתונות נקודות שונות.
A(5,1,0), B(5,0,0), C(0,0,3), D(1,0,3), E(0,-2,0), F(0,1,-2), G(-2,1,-2) קבעו עבור כל נקודה האם היא נמצאת על: ציר ה-x , ציר ה-y , ציר ה-z או על אף אחד מהצירים. לגבי כל נקודה שאינה על אחד הצירים, קבעו האם היא במישור [x,y], [y,z] או [x,z] . פתרון: G לא על ציר, ולא על אחד המישורים.

21 נחקור את מישורי הצירים היום נלמד על מערכת צירים תלת מימדית
ייצוג נקודה במרחב במערכת צירים תלת ממדית חלוקת המרחב על ידי מישורי הצירים סיכום

22 חלוקת המישור על ידי ישר | שאלה
שאלה: לכמה חלקים מחלק ישר את המישור? (ללא נקודות הישר עצמו)

23 חלוקת המישור על ידי ישר | תשובה
שאלה: לכמה חלקים מחלק ישר את המישור? (ללא נקודות הישר עצמו) תשובה: ישר מחלק את המישור לשני חלקים. כל חלק מצד אחר של המישור. ראו שרטוט: צד א צד ב

24 חלוקת המישור על ידי שני צירי מערכת צירים | שאלה
שאלה: לכמה חלקים מחלקים שני הצירים של מערכת הצירים את המישור? (ללא נקודות הצירים).

25 חלוקת המישור על ידי שני צירי מערכת צירים | תשובה
שאלה: לכמה חלקים מחלקים שני הצירים של מערכת הצירים את המישור? (ללא נקודות הצירים). תשובה: שני הצירים מחלקים את המישור לארבעה רביעים.

26 חלוקת המרחב התלת ממדי על ידי מישורי הצירים
לכמה חלקים מחולק המרחב התלת הממדי על ידי שלושת מישורי הצירים?

27 חלוקת המרחב התלת ממדי על ידי מישורי הצירים
לכמה חלקים מחולק המרחב התלת הממדי על ידי שלושת מישורי הצירים? בשרטוט רואים חלק אחד של המרחב בו שלושת שיעורי כל נקודה חיוביים. דמיינו את שלושת מישורי הצירים כרצפה ושני קירות חדר. (חדר אינסופי). כמה "חדרים" כאלה קיימים במרחב מעבר ל"קירות" ומעל ל"רצפה"?

28 חלוקת המרחב התלת ממדי על ידי מישורי הצירים
לכמה חלקים מחולק המרחב התלת הממדי על ידי שלושת מישורי הצירים? בשרטוט רואים חלק אחד של המרחב בו שלושת שיעורי כל נקודה חיוביים. דמיינו את שלושת מישורי הצירים כרצפה ושני קירות חדר. (חדר אינסופי). כמה "חדרים" כאלה קיימים במרחב מעבר ל"קירות" ומעל ל"רצפה"? אם נמשיך את הצירים x ו-y לכיוונים השליליים שלהם, נקבל את ארבעת הרביעים של המישור [x,y]. מעל כל רביע כזה קיים "חדר" נוסף. בס"ה 4 "חדרים".

29 חלוקת המרחב התלת ממדי על ידי מישורי הצירים
לכמה חלקים מחולק המרחב התלת הממדי על ידי שלושת מישורי הצירים? בשרטוט רואים חלק אחד של המרחב בו שלושת שיעורי כל נקודה חיוביים. דמיינו את שלושת מישורי הצירים כרצפה ושני קירות חדר. (חדר אינסופי). כמה "חדרים" כאלה קיימים במרחב מעבר ל"קירות" ומעל ל"רצפה"? אם נמשיך את הצירים x ו-y לכיוונים השליליים שלהם, נקבל את ארבעת הרביעים של המישור [x,y]. מעל כל רביע כזה קיים "חדר" נוסף. בס"ה 4 "חדרים". מתחת לכל רביע כזה נמצאים עוד "חדר". ובס"ה ארבעה "חדרים" נוספים. בס"ה 8 "חדרים". מישורי הצירים מחלקים את המרחב ל-8 חלקים. ראו את השקף הבא.

30 חלוקת המרחב התלת ממדי לשמונה אוקטנטים
נעבור לגאוגברה "חלוקת המרחב ל-8 אוקטנטים". נסובב את השרטוט כדי לראות את שמונת האוקטנטים.

31 חלוקת המרחב התלת ממדי לשמונה אוקטנטים
נעבור לגאוגברה "שינוי שיעורי נקודה במרחב". שנו בזה אחר זה את שיעורי הנקודה P בעזרת סרגלי הגרירה מימין. שימו לב למיקום הנקודה בהתאם לסימני שיעוריה. שימו לב לשיעורי הנקודות המתקבלות על צירי השיעורים ועל מישורי הצירים.

32 תרגיל 2 נתונה פירמידה ABCDE שקדקודיה הם: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,3,0), E(2,1,4). האם הפירמידה מעל או מתחת למישור x,y]] ? חשבו את נפח הפירמידה.

33 תרגיל 2 | פתרון סעיף א נתונה פירמידה ABCDE שקדקודיה הם: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,3,0), E(2,1,4). האם הפירמידה מעל או מתחת למישור x,y]] ? חשבו את נפח הפירמידה. פתרון סעיף א: נשים לב כי שיעור ה-z של הקדקודים ABCD הוא 0. נסיק מכך כי הם נמצאים במישור [x,y]. לכן, בסיס הפירמידה ABCD נמצא על המישור [x,y]. כל שיעורי הנקודה E חיוביים. והפירמידה מעל מישור זה.

34 תרגיל 2 | פתרון סעיף ב נתונה פירמידה ABCDE שקדקודיה הם: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,3,0), E(2,1,4). האם הפירמידה מעל או מתחת למישור x,y]] ? חשבו את נפח הפירמידה. פתרון סעיף ב: נפח פירמידה מחושב על-ידי שליש מכפלת שטח בסיסה בגובה לבסיס. כדי לחשב את נפח הפירמידה צריך למצוא את שטח הבסיס ABCD ואת הגובה לבסיס מהנקודה E.

35 תרגיל 2 | פתרון סעיף ב נתונה פירמידה ABCDE שקדקודיה הם: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,3,0), E(2,1,4). האם הפירמידה מעל או מתחת למישור x,y]] ? חשבו את נפח הפירמידה. פתרון סעיף ב: נפח פירמידה מחושב על-ידי שליש מכפלת שטח בסיסה בגובה לבסיס. כדי לחשב את נפח הפירמידה צריך למצוא את שטח הבסיס ABCD ואת הגובה לבסיס מהנקודה E. בסעיף הקודם ראינו כי קודקודי הבסיס ABCD נמצאים כולם במישור [x,y]. אפשר לראות כי ABCD הוא מלבן. מצאו את אורכי צלעות המלבן ואת שטחו.

36 תרגיל 2 | פתרון סעיף ב נתונה פירמידה ABCDE שקדקודיה הם: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,3,0), E(2,1,4). האם הפירמידה מעל או מתחת למישור x,y]] ? חשבו את נפח הפירמידה. פתרון סעיף ב: נפח פירמידה מחושב על-ידי שליש מכפלת שטח בסיסה בגובה לבסיס. כדי לחשב את נפח הפירמידה צריך למצוא את שטח הבסיס ABCD ואת הגובה לבסיס מהנקודה E. בסעיף הקודם ראינו כי קודקודי הבסיס ABCD נמצאים כולם במישור [x,y]. ABCD הוא מלבן שצלעותיו הן: AB=CD=4 ו-BC=DA=3. ולכן שטח ABCD הוא: 3·4=12 מצאו את גובה הפירמידה ונפחה.

37 תרגיל 2 | פתרון סעיף ב נתונה פירמידה ABCDE שקדקודיה הם: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,3,0), E(2,1,4). האם הפירמידה מעל או מתחת למישור x,y]] ? חשבו את נפח הפירמידה. פתרון סעיף ב: נפח פירמידה מחושב על-ידי שליש מכפלת שטח בסיסה בגובה לבסיס. כדי לחשב את נפח הפירמידה צריך למצוא את שטח הבסיס ABCD ואת הגובה לבסיס מהנקודה E. שטח ABCD הוא: 3·4=12 מצאו את גובה הפירמידה ונפחה.

38 תרגיל 2 | פתרון סעיף ב נתונה פירמידה ABCDE שקדקודיה הם: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,3,0), E(2,1,4). האם הפירמידה מעל או מתחת למישור x,y]] ? חשבו את נפח הפירמידה. פתרון סעיף ב: נפח פירמידה מחושב על-ידי שליש מכפלת שטח בסיסה בגובה לבסיס. כדי לחשב את נפח הפירמידה צריך למצוא את שטח הבסיס ABCD ואת הגובה לבסיס מהנקודה E. שטח ABCD הוא: 3·4=12 גובה הפירמידה הוא מרחק הנקודה E מהמישור [x,y]. הגובה הוא שיעור z של הנקודה E: 4. הנפח הוא:

39 נסכם את השיעור היום נלמד על מערכת צירים תלת מימדית
ייצוג נקודה במרחב במערכת צירים תלת ממדית חלוקת המרחב על ידי מישורי הצירים סיכום

40 היום פגשנו מערכת צירים תלת מימדית
כל נקודה במרחב מתוארת על-ידי שלושה שיעורים ( x , y , z ) באופן הבא: x הוא מרחק הנקודה מציר ה-y y הוא מרחק הנקודה מציר ה-x z הוא מרחק הנקודה ממישור [x,y]. הכרנו את מישורי הצירים: המישור [x,y] מכיל את הצירים x ו-y. שיעורי כל נקודה בו הם (x,y,0). המישור [x,z] מכיל את הצירים x ו-z. שיעורי כל נקודה בו הם (x,0,z). המישור [y,z] מכיל את הצירים y ו-z. שיעורי כל נקודה בו הם (0,y,z). מישורי הצירים מחלקים את המרחב ל-8 חלקים. סוף