מודלים של שיווי משקל לצורכי תכנון תחבורה

מצגת בנושא: "מודלים של שיווי משקל לצורכי תכנון תחבורה"— תמליל מצגת:

1 מודלים של שיווי משקל לצורכי תכנון תחבורה
הלל בר-גרא המחלקה להנדסת תעשייה וניהול אוניברסיטת בן-גוריון בנגב

2 תכנית ההרצאה מודלים לצורכי תכנון תחבורה
חשיבות דיוק החישוב לצורך השוואה בין תרחישים עקביות בקביעת קבוצת המסלולים שבשימוש ובחלוקת הזרימה בין המסלולים

3 מודלים לצורכי תכנון תחבורה
מודל לצורכי תכנון תחבורה: מערכת (ממוחשבת) לחיזוי התפקוד של מערכת התחבורה בתסריטים שונים. המטרה של מודלים לצורכי תכנון תחבורה: סיוע בתהליך קבלת ההחלטות בשלבי תכנון שונים. הציפיות ממודלים לתכנון תחבורה: חיזוי סביר של תפקוד מערכת התחבורה בעתיד הקרוב (שנה שנתיים) והרחוק (20-50 שנה). הערכה סבירה של ההשפעה של החלטות שונות (תרחישים) על תפקוד מערכת התחבורה.

4 כיצד נמדד דיוק של מודל? דיוק חיזוי (accuracy) – התאמה בין תחזיות המודל לבין ההתרחשויות בפועל. דיוק מבני – מידת הפירוט בה מבנה המודל תואם למציאות ולמאפייניה המורכבים. יציבות/הדירות – שינויים קטנים בהנחות מובילים לשינויים מתאימים בתוצאות. דיוק החישוב (precision) – דיוק התוצאות בהנחה שהנתונים של המודל נכונים.

5 מודלים של שיווי משקל המערכת כוללת מספר מקבלי החלטות.
ישנן השפעות הדדיות בין מקבלי ההחלטות השונים. במצב שיווי משקל אין לאף אחד ממקבלי ההחלטות סיבה לשנות את החלטתו. הנחה: רוב הסיכויים למצוא את המערכת בקירוב במצב שיווי משקל. מודלים של שיווי משקל מתמקדים באפיון התנאים שאמורים להתקיים במצב שיווי משקל. מודלים של תהליכים מתמקדים באופן התפתחות המערכת.

6 גידול האוכלוסייה בהירושימה ונגסקי
Reproduced from Davis and Weinstein, 2002

7 דוגמא – כביש 6 מטרת המודל: חיזוי מספר המשתמשים בכביש אגרה.
מבוסס על סקרי "נכונות לשלם" של כ-800 נהגים. מספר המשתמשים בשנת 2004 הגיע לכ-85% מהתחזית. התחזית מבוססת על מיצוע של מודלים מלאים לשנים 2000 ו – 2010. המודל לשנת 2010 כולל את כל אורך הכביש אחוזם-אליקים, וכן את כל כבישי הרוחב והגישה. המודל מבוסס על האגרה הבסיסית, ללא תוספת הגביה ללקוחות מזדמנים ולמנויי וידאו.

8 מודל בחירת מסלולים: שיווי משקל המשתמשים
כל משתמש מעוניין לבחור במסלול הקצר ביותר, בהתאם לתנאי העומס ברשת הכבישים הנוצרים מבחירת המסלולים של כלל המשתמשים. במצב שיווי משקל, זמן הנסיעה בכל מסלול שבשימוש אינו ארוך יותר מזמן הנסיעה בכל מסלול חלופי. “The journey times on all the routes actually used are equal, and less than those which would be experienced by a single vehicle on any unused route.” (Wardrop, 1952)

9 מדד דיוק במודל בחירת המסלולים
מוצא יעד זרם (רכבים לשעה) עלות (דקות נסיעה) עלות עודפת עלות עודפת כוללת 1 A C 6 2 10 7 3 D 20 4 8 5 B 9 50 15 סך הכל 60 80

10 מהו הדיוק (precision) הדרוש?
מקרה לדוגמה: במטרופולין פילדלפיה נשקלה האפשרות לקשר בין שני כבישים מהירים I-295 ו SR-42. בהתחשב במרכזיות הכבישים, צפויה השפעה על נפחי התנועה בסביבה. על המודל להיות מדויק מספיק בכדי לקבוע מהו טווח ההשפעה של הפרוייקט. זהו מקרה קלאסי של ניתוח עם/בלי פרוייקט, אשר אופייני לרשויות תכנון תחבורה ברחבי העולם.

11

12

13

14

15 As the solution converges, the flow differences diminish, indicating that the first solution shown overstated the differences.

16 Where are the links with large link flow differences located
Where are the links with large link flow differences located? Note scale doubles in each interval, and the interval (-500, +500) is omitted. Increases are on the freeway and the added ramps; decreases are on the arterials that are used if the ramps do not exist.

17

18 Now the flow differences ar3e becoming stable, and the next slide indicates that stability is rached.

19 However, as the flows converge, again, the ratios to capacity are less pronounced.

20 Now they are still less.

21 Since we have a highly converged solution for this problem, we can also examine where the errors occur, and how large they are. We note the errors are in the range (-1000, +1000), and generally occur in the same links shown before.

22 At 0. 2 minutes AEC, they have largely disappeared
At 0.2 minutes AEC, they have largely disappeared. Of course, smaller errors, not shown are present.

23

24 When compared to capacity, a similar result is found. (updated slide)

25 Updated slide

26

27

28

29 ריבוי פתרונות זרימה במסלולים למודל שיווי המשקל
r2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 r1 r'1 r'2 אם נעביר כמות זרם  ממסלול r1 למסלול r’1 וממסלול r2 למסלול r’2 , סך הזרם בכל צלע יישמר, זמני הנסיעה לא ישתנו, ולכן "הצרחת" זרם מסוג זה לא משפיעה על תנאי שיווי המשקל.

30

31

32 מציאת חלופות בסיסיות r2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 r1 r'1 r'2 ניתן לנתח את כל פתרונות שיווי המשקל על ידי זיהוי קבוצה של חלופות בסיסיות. במקרה הזה החלופה הבסיסית היא בין המקטע [4,5,7] לבין המקטע [4,6,7]. זהו ההבדל בין r1 לבין r’1 , וגם בין r2 לבין r’2 .

33 דוגמא לקבוצה של 8 מסלולי שיווי משקל

34 חלופות בסיסיות בקבוצת מסלולים
C A B E D E D

35 מספר מסלולי שיווי המשקל ומספר החלופות הבסיסיות ברשתות שונות
network #OD pairs #basic alt. #routes Sioux Falls Barcelona 7, ,309 Winnipeg 4, ,880 Tucson 366, ,568,387 C. sketch 93, ,248 C. regional 2,297,945 5,101 93,026,895

36 הצרחת זרם אלמנטרית הצרחת זרם בין שני זוגות מסלולים הנבדלים באותה חלופה בסיסית נקראת הצרחה אלמנטרית.

37 סיווג הצרחות בסיסיות elementary within between
network origin origins core total Sioux Falls Barcelona 2, ,314 Winnipeg 2,455 2, ,397 Tucson 1,179,105 22, ,202,024 C. sketch 27,261 6, ,469 C. regional 89,822, , ,723,931

38 חלוקת זרם עקבית בהצרחה אלמנטרית
r2 2 3 4 5 6 7 8 9 1 10 r1 r'1 r'2 חלוקת זרם בהצרחה אלמנטרית נקראת עקבית אם אותו יחס נשמר בשני זוגות המסלולים. למשל: דרך 5 דרך 6 מ 1 ל 9 r1=60 r'1=40 מ 2 ל 10 r'2=180 r2=120

39 עקביות בקבוצת המסלולים ובחלוקת הזרם ביניהם
תנאי העקביות בחלוקה של זרם בין מסלולים שקול למציאת חלוקת הזרם בעלת האנטרופיה המקסימאלית, אשר נחשבת לחלוקה ה"סבירה ביותר". בהינתן קבוצת מסלולים חלקית, הצרחה עלולה להיות חסומה אם המסלולים ה"מקוריים" נכללים בקבוצה, אבל אחד המסלולים החלופיים לא כלול בקבוצה. קבוצת מסלולים חלקית ללא "חסימות" נקראת קבוצה עקבית. מציאת קבוצת מסלולים עקבית היא תנאי ראשוני למציאת חלוקה עקבית של הזרם בין המסלולים.

40 מציאת פתרונות עקביים ברשתות שונות
CPU time Duality Gap Final Entropy Initial Entropy network 7 s 1E-10 59,235 38,963 Sioux Falls 3 s 2E-10 27,759 15,462 Barcelona 0.5 s 69 19,820 11,257 Winnipeg 1E-9 425,174 170,666 Tucson 97,722 52,235 C. sketch 177 s 58 h 3,836 30 917,878 920,223 411,454 C. regional

41 מסקנות מודלים של שיווי משקל הם כלי שימושי בתכנון תחבורה
אלגוריתמים חדשים מאפשרים: מציאת פתרונות מדויקים ויציבים. מציאת קבוצת מסלולי שיווי המשקל. מציאת חלוקת זרם עקבית בין המסלולים. טיפול במודלים משולבים של בחירת מוצא יעד אמצעי ומסלול.