S. Even, "Graph Algorithms", Computer Science Press, 1979 קומבינטוריקה למדעי-המחשב Graph theory – תורת הגרפים Chapter 1: PATHS IN GRAPHS – 1.מסלולים בגרפים מבוסס על הספר: S. Even, "Graph Algorithms", Computer Science Press, 1979 שקפים, ספר וחומר רלוונטי נוסף באתר הקורס: Slides, book and other related material at: http://webcourse.cs.technion.ac.il/234141 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

1.1 INTRODUCTION TO GRAPH THEORY Figure 1.1 e4 e1 v2 e2 v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Set of vertices V קבוצת צמתים V = {v1, v2, v3, v4, v5} Figure 1.1 e4 e1 v2 e2 v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Set of edges E קבוצת קשתות E = {e1, e2, e3, e4 , e5} v2 e2 v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Graph G(V, E) (or G = (V, E)) גרף R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

דוגמא לגרף לא-סופי: Finite Graph גרף סופי כמעט תמיד (אלא אם יצוין אחרת) גם V וגם E יהיו קבוצות סופיות. במקרה זה נאמר שהגרף G=(V,E) הוא גרף סופי דוגמא לגרף לא-סופי: G = (N, {(i, j) : i = 2*j}) R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

self loops parallel edges וחוגים עצמיים קשתות מקבילות v2 e2 חוג עצמי קשתות מקבילות v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

e u v edge (arc, link …) קשת כל קשת מקושרת ( incident) לשני צמתים U ו-V (לא בהכרך שונים!) קבוצת הצמתים המקושרת לקשת היא זוג לא סדור {V,U} נאמר גם: ש-U ו-V הם הקצוות (endpoints) של הקשת e וגם ש-e מחברת את U ו-V וגם כי U ו-V הם שכנים או סמוכים (adjacent) סימון: u_e_v e u v R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

דרגה (Degree) של צומת d(v) = מספר הפעמים ש-v הינה קצה של קשת d(v3) = 0 Isolated (מבודד) e3 v4 d(v4) = 1 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

סכום דרגות בגרף סופי d(v1)+d(v2)+d(v3)+d(v4)+d(v5)=4+3+0+1+2=10=2|E| R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

סכום הדרגות בגרף סופי משפט: יהי G=(V,E) גרף סופי. אזי הוכחה: נדמיין רשימה e1,e2,…e|E| של כל הקשתות ולכל קשת נרשום את שני הקצוות שלה e1, e2, e|E| {u1,v1},{u2,v2},…{u|E|, v|E|} R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

סכום הדרגות בגרף סופי (2) סכום הדרגות בגרף סופי (2) e1 e4 לדוגמא: e2 v2 v5 v1 e5 v3 e3 v4 e1 e2 e3 e4 e5 v1 v1 v1 v2 v1 v4 v2 v5 v2 v5 הרשימה: R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

סכום הדרגות בגרף סופי (3) סכום הדרגות בגרף סופי (3) הרשימה: {u1,v1},{u2,v2},…{u|E|, v|E|} מצד אחד: הדרגה של צומת v היא מספר הפעמים ש-v מופיע ברשימה. לכן מספר האיברים ברשימה = סכום הדרגות מצד שני: יש בדיוק 2|E| איברים (צמתים) ברשימה R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

הוכחה נוספת: אם כל קשת "תשלם" לכל אחד משני קצותיה 1$ סכום דרגות בגרף סופי הוכחה נוספת: אם כל קשת "תשלם" לכל אחד משני קצותיה 1$ 2 דולרים ·| Eסה"כ תשלומים = | דולריםd(v) מגיעים בסה"כ vל- $↔$ $↔$ $↔$ v2 $↔$ v5 v1 $↔$ R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

זוגיות הדרגות בגרף סופי זוגיות הדרגות בגרף סופי מהמשפט נובע: מספר הצמתים בעלי דרגה אי-זוגית הוא זוגי (למה 1.1 בספר של אבן) הוכחה: 2|E| הוא זוגי ולכן גם . נפחית את סכום הדרגות הזוגיות ונקבל מספר זוגי. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

דוגמא אורך המסלול : Path מסלול d e2 e3 e1 c b a e4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Circuit מעגל דוגמא אורך המעגל : d e2 e3 e1 c b a e4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

מסלול ומעגל פשוט מסלול נקרא פשוט אם אין בו צומת המופיע בו יותר מפעם אחת מעגל נקרא פשוט אם אין בו אף צומת המופיע יותר מפעם אחת, חוץ מצומת ההתחלה/סיום. כמו כן נדרוש שצומת ההתחלה/סיום לא יופיע בשום מקום אחר במסלול. למרות האמור לעיל המעגל אינו נחשב פשוט R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Connected graphs גרפים קשירים גרף יקרא קשיר (connected) אם לכל שני צמתים u ו- v קיים מסלול אשר נקודת ההתחלה שלו היא u ונקודת הסיום היא v. a b c d e4 e3 e2 e1 y x e5 דוגמא לגרף לא קשיר: R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Cut חתך חתך (cut) בגרף G=(V,E) הוא תת-קבוצה S של קבוצת הצמתים V. נאמר שקשת e חוצה (crosses) את החתך S אם קצה אחד של e נמצא ב-S, והקצה השני מחוץ ל-S. חתך d קשתות חוצות דוגמא לחתך: קשת לא-חוצה c a b R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

חתכים בגרפים קשירים החתך לא נחצה טענה: גרף קשיר אם"ם לכל חתך לא ריק יש לפחות קשת חוצה אחת כלומר: d y e2 החתך לא נחצה e5 e1 e3 c a b x e4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

גרף פשוט גרף לא-מכוון יקרא פשוט אם אין בו חוגים עצמיים וקשתות מקבילות גרף כללי (לא פשוט) נקרא לעיתים: multi-graph בגרף G=(V,E) פשוט: E µ V£ V תרגיל רשות: בגרף פשוט R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Digraph גרף מכוון e4 e1 v2 e2 v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Set of vertices V קבוצת צמתים V = {v1, v2, v3, v4, v5} R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Set of edges E קבוצת קשתות E = {e1, e2, e3, e4 , e5} v2 e2 e1 v5 v1 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

DiGraph G(V, E) גרף מכוון R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Finite Graph גרף מכוון סופי כמעט תמיד (אלא אם יצוין אחרת) גם V וגם E יהיו קבוצות סופיות. במקרה זה נאמר שהגרף G=(V,E) הוא גרף סופי דוגמא לגרף לא-סופי: G = (N, {(i  j) : j = 2*i}) R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

self loops untiparallel and parallel edges חוגים עצמיים ואנטי-מקבילות קשתות מקבילות v2 חוג עצמי קשתות מקבילות קשתות אנטי-מקבילות v5 v1 e6 e5 v3 e3 v4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

כמו כן נאמר שהקשת מכוונת (directed) מ-u ל-v. קשת בגרף מכוון בגרף מכוון: צמתי הקצה של קשת מהווים זוג סדור (u,v). הצומת u נקרא צומת ההתחלה (start-vertex) של הקשת והצומת v נקרא צומת הסיום (end-vertex). כמו כן נאמר שהקשת מכוונת (directed) מ-u ל-v. u v e R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

דרגת היציאה (out-degree) של צומת v, dout(v), היא מספר הפעמים ש-v הינו צומת-התחלה של קשת R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

דרגת הכניסה (in-degree) של צומת v, din(v), היא מספר הפעמים ש-v הינו צומת-סיום של קשת din(v3)=dout(v3) = 0 Isolated (מבודד) e3 v4 din(v4) = 1 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

טענה: בגרף סופי סכום דרגות הכניסה = מספר הקשתות סכום דרגות בגרף סופי טענה: בגרף סופי סכום דרגות הכניסה = מספר הקשתות הוכחה: אם כל קשת "תשלם" לצומת הסיום שלה 1$ 1 דולרים·| Eסה"כ תשלומים = | דולריםdin(v) מגיעים בסה"כ vל- השוויון השני - אנלוגי $ $ v2 $ v5 v1 $ $ R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Directed path מכוון מסלול דוגמא אורך המסלול : d e2 e3 e1 c a b e4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Directed cycle מכוון מעגל דוגמא אורך המעגל : d e5 e2 e3 e1 c a b e4 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

מסלול ומעגל פשוט – באופן דומה... מסלול נקרא פשוט אם אין בו צומת המופיע בו יותר מפעם אחת מעגל נקרא פשוט אם אין בו אף צומת המופיע יותר מפעם אחת, חוץ מצומת ההתחלה/סיום. כמו כן נדרוש שצומת ההתחלה/סיום לא יופיע בשום מקום אחר במסלול. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

Strongly connected graphs גרפים קשירים היטב גרף מכוון יקרא קשיר-היטב (strongly connected) אם לכל זוג צמתים u ו-v, קיים מסלול מכוון שנקודת ההתחלה שלו היא u ונקודת הסיום שלו היא v. a b c d y x דוגמא לגרף לא קשיר היטב: R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

The underline graph of digraph גרף התשתית של גרף מכוון = הגרף הלא מכוון המתקבל מ"מחיקת" הכוונים דוגמא לגרף מכוון לא קשיר-היטב אבל גרף התשתית שלו קשיר d x y x x x x c a b x x x R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141