חקירת פונקציה נקודות קיצון אקסטרמום(קיצון) בקטע סגור תחומי עליה וירידה קמירות כלפי מטה/ מעלה נקודות פיתול אסימפטוטות

f מוגדרת בסביבה של נקודה a אומרים הגדרה: יש ל- f מקסימום מקומי ב-a כאשר קיימת סביבה מסוימת I של aכך ש: לכל יש ל- f מינימום מקומי ב-a כאשר קיימת סביבה מסוימת I של aכך ש: לכל מקסימום מקומי מינימום מקומי מינימום מקומי

משפט פרמה f מוגדרת ב- א' תהי ב' גזירה ב- ג' אם יש ל- f ערך קיצון ב- א' תהי ב' גזירה ב- אזי ג' אם יש ל- f ערך קיצון ב-

דוגמא לא מתאימה לתנאי המשפט פרמה יכול להיות ש אין ל- f ערך קיצון ב- אבל אין ל- f ערך קיצון ב-

דוגמא לא מתאימה לתנאי המשפט פרמה שיש ל- f ערך קיצון ב- יכול להיות אבל f לא גזירה ב- כאשר יש ל- f מינימום ב- f לא גזירה ב-

הנקודות חשודות לנקודות קיצון א) אם אומרים ש a נקודה חשודה לנקודת קיצון של f ב) אם קיימת נקודה שבה אינה קיימת אז היא גם חשודה לקיצון, חשודה לקיצון

דוגמא

תחומי עליה פונקציה עולה.

תחומי ירידה פונקציה יורדת

תחומי עליה וירידה יורדת עולה

משפט: מבחן נגזרת הראשונה מחליפה סימן משלילי לחיובי ב- a  a מינימום מקומי –  מחליפה סימן מחיובי לשלילי ב- a  a מקסימום מקומי  – שומרת סימן ב- a  a אינה נקודת קיצון

משפט: מבחן נגזרת השניה נקודה קריטית של f ז"א בהנחה ש f גזירה פעמיים ב- מינימום מקומי מקסימום מקומי

f מוגדרת בתחום D . אומרים ש: הגדרה: a מקסימום מוחלט של f בתחום D לכל a מינימום מוחלט של f בתחום D לכל מקסימום מוחלט מקסימום מקומי מינימום מקומי מינימום מוחלט

מקסימום מוחלט בקטע סגור משפט ווירשטס מקסימום מוחלט בקטע סגור אם f רציפה ב- קיימים נק' מינימום ומקסימום מוחלט של f ב- הן: הנקודות מינימום ומקסימום של f ב- או: נקודה קריטיות של f נקודות שבהן f אינה גזירה או: או: או:

דוגמא: נקודות קיצון מוחלט בקטע סגור דוגמא: נקודות קיצון מוחלט בקטע סגור בקטע: 3-, 2 נקודות קריטיות 1.נקודה קריטיות של f 2.בדיקה: מינימום מוחלט מקסימום מוחלט

f קמורה ב (קמורה כלפי מעלה) אם לכל a,b של כך ש: a <b המיתר העובר דרך הנקודות נמצא מעל הגרף של f B A

f קעורה ב (קמורה כלפי מטה) אם לכל a,b של I כך ש: a <b המיתר העובר דרך הנקודות נמצא מתחת הגרף של f B A

משפט: מבחן נגזרת השנייה f קמורה ב- שלילי חיובי  עולה f גזירה פעמיים ב- f קמורה ב  לכל

משפט: מבחן נגזרת השנייה f קעורה ב- חיובי שלילי יורדת  f גזירה פעמיים ב f קעורה ב-  לכל

–   תהי f רציפה ב-a הגדרה: וקעורה "אחרי " a f קמורה "לפני" a או להיפך דוגמה:  –  קמורה קעורה קמורה

נקודות פיתול תהי f רציפה ב-a הגדרה: f קמורה "לפני" a וקעורה "אחרי " a או להיפך f גזירה פעמיים בסביבה של a משפט: a נקודת פיתול של f מחליפה סימן ב- a 

הישר x = a הוא אסימפטוטה אנכית של f אסימפטוטה אנכית הישר x = a הוא אסימפטוטה אנכית של f אא"ם או דוגמא: הישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית של f

הישר x = a הוא אסימפטוטה אנכית של f אסימפטוטה אנכית הישר x = a הוא אסימפטוטה אנכית של f אא"ם או דוגמא: הישר x = 0 הוא אסימפטוטה אנכית של f

הישר y = L הוא אסימפטוטה אופקית של f אסימפטוטה אופקית הישר y = L הוא אסימפטוטה אופקית של f אא"ם או דוגמא: הישר y = 2 הוא אסימפטוטה אופקית של f 2

הוא אסימפטוטה משופעת של f דוגמא: אין אסימפטוטה אופקית או הישר y = x + 2 הוא אסימפטוטה משופעת של f

הישר y = ax + b הוא אסימפטוטה משופעת של f אא"ם או לא קיים או שווה 0 או   אין אסימפטוטה משופעת לא קיים או  אין אסימפטוטה משופעת שווה b  אסימפטוטה משופעת y = a x + b

חקירת פונקציה