כפליות של מצבים במערכת מרובת חלקיקים נקודת מבט מיקרוסקופית כפליות של מצבים במערכת מרובת חלקיקים נקודת מבט מיקרוסקופית

מצבים מיקרוסקופיים ומאקרוסקופיים נניח שיש לנו מערכת של N חלקיקים, שכל אחד מהם יכול להיות בכל אחד מM- מצבים אפשריים. נוכל להגדיר מצב מיקרוסקופי: החלקיק הראשון במצב A1, החלקיק השני במצב A2, החלקיק השלישי הוא ... כלומר – כל צירוף אפשרי הוא מצב מיקרוסקופי נוכל להגדיר גם מצב מאקרוסקופי – אוסף כל המצבים המיקרוסקופיים בעלי תכונה משותפת. בפרט – כל המצבים שבהם יש N1 חלקיקים במצב 1, N2 חלקיקים במצב 2, וכו'.

(עץ3, עץ2+פאלי1, עץ1+פאלי2 , פאלי3) דוגמא פשוטה נטיל מטבע הוגן שלוש פעמים. יש שמונה מצבים מיקרוסקופיים נסמן עץ ב0- פאלי ב1-, אז המצבים הם (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0) , (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1) ו-(1,1,1) יש ארבעה מצבים מאקרוסקופיים (עץ3, עץ2+פאלי1, עץ1+פאלי2 , פאלי3) הכי חשוב: למצבים המאקרוסקופיים יש כפליות (multiplicity) שונה: יש שלוש אפשרויות שונות להיות במצב עץ2+פאלי1 ורק אפשרות אחת להיות במצב עץ3. אם כל המצבים המיקרוסקופיים סבירים באותה מידה, למצבים המאקרוסקופיים יהיו סבירויות שונות!

חישוב כפליות באמצעות קומבינטוריקה התרגיל הבסיסי בחישוב כפליות של מצב מיקרוסקופי הוא קומבינטוריקה בסיסית. אם ישנם N פריטים שצריך לבחור k מתוכם (והסדר לא חשוב), מספר האפשרויות הוא במספרים קטנים (כמה אפשרויות יש לבחור את שתי ההטלות מתוך שלוש בסך הכל שבהן יצא עץ) קל לחשב. במספרים גדולים נשתמש בקירוב סטירלינג

הסיכויים למצבים מאקרוסקופיים שונים (I) בהנחה שכל המצבים המיקרוסקופיים סבירים באותה מידה, הסיכוי למצב מאקרוסקופי מסויים הוא, כמובן הסיכוי לקבל שלוש פעמים עץ הוא 1/8, הסיכוי לקבל פעמיים עץ הוא 3/8. המגמה הטבעית היא שרוב "הסבירות" מרוכזת במספר קטן יחסית של מצבים מאקרוסקופיים עבור שלוש הטלות מטבע... Pstate מספר פעמים עץ 0 1 2 3

הסיכויים למצבים מאקרוסקופיים שונים (II) Pstate מספר פעמים עץ 0 40 60 100 עבור מאה הטלות מטבע... הסיכוי לקבל 50 פעמים עץ הוא ~0.08... הסיכוי לקבל 100 פעמים עץ הוא 2-100! ~N1/2 הרוחב של השיא בגרף ההתפלגות (כמו בציור למעלה) עולה כמו N1/2, כך שהרוחב היחסי הוא N1/2/N=N-1/2 אנחנו עוסקים במערכות עם N מסדר גודל של מספר אבוגדרו – הסיכוי לחרוג מהמצב המאקרוסקופי הסביר ביותר אפסי ממש!

הדגמה פשוטה – מוצק איינשטיין נניח שיש לנו N חלקיקים. כמה אפשרויות יש לחלק ביניהם q יחידות אנרגיה? חישוב בכיתה – הגבול החם (q>>N) נשאיר לתרגיל את הגבול הקר (q<<N: הסיכוי למצוא חלקיק עם שתי יחידות אנרגיה זניח). נוח לנתח את הבעייה כך: יש לנו q נקודות, ועלינו לחלק אותן בעזרת N-1 קווים לN- קבוצות (כולל קבוצות ריקות)                    …….

הדגמה פשוטה – מוצק איינשטיין יש לנו q+N-1 מקומות לשים קווים, ובוחרים מתוכם q: סטירלינג זהו סך כל המצבים המיקרוסקופיים – כל הדרכים האפשריות לחלק q יחידות אנרגיה לN- חלקיקים. מה אפשר להגיד על ההתפלגות של הכפליות הכוללת הזו בין מצבים מאקרוסקופיים שונים?

הדגמה פשוטה – מוצק איינשטיין ניקח עכשיו שתי מערכות A וB- שבכל אחת N חלקיקים, ונחלק ביניהן q יחידות אנרגיה. נגדיר מצב מאקרוסקופי לפי הערכים של qA וqB-. נסמן x=qA-q/2. בעבור x/q<<1 נקבל דיכוי אקספוננציאלי של מצבים עם |x|/q לא זניח חשוב – q~NA=61023, ולכן הסיכוי אפילו לפלוקטואציות של x~10-10q זניח לחלוטין. בעצם, אפשר למצוא את המערכת רק במצב של qA=qB.

המסקנה היסודית על כפליות מוצק איינשטיין הוא דוגמא מייצגת מצויינת למגמה הכללית בכפליות של מערכות עם מספר גדול מאוד של חלקיקים: הסיכוי לסטיות משמעותיות מהמצב הסביר ביותר הוא ממש אפס (לא ~10-3, אלא ~10-30) אם כל המצבים המיקרוסקופיים סבירים באותה מידה, מערכת שיווי משקל תמצא רק במצב הסביר ביותר שלה (עד כדי פלוקטואציות זניחות לחלוטין). הכפליות של המצב הסביר ביותר שווה בקירוב לכפליות הכוללת של המערכת מסקנות אלו הן כלליות, ומביאות אותנו להציג כודל בסיסי ביותר בפיסיקה של מערכות מרובות חלקיקים – האנטרופיה.