Carry Save Adder (CSA)

© Dima Elenbogen 2010, Technion – Israel Institute of Technology סיכום של 3 סיביות FA ai bi ci xi+1 yi אם נזין ל-FA 3 סיביות מאותה ערכיות, הוא יוציא את הסכום שלהן: סיבית אחת תישאר באותה ערכיות והסיבית האחרת תעלה רמה: ai + bi + ci  { 00, 01, 10, 11}

סיכום של 3 מספרים בני j סיביות כ''א © Dima Elenbogen 2010, Technion – Israel Institute of Technology סיכום של 3 מספרים בני j סיביות כ''א FA ai bi ci xi+1 yi אם נזין ל-FA 3 סיביות מאותה ערכיות, הוא יוציא את הסכום שלהן: סיבית אחת תישאר באותה ערכיות והסיבית האחרת תעלה רמה. FA ai-1 bi-1 ci-1 xi yi-1 טיפול זהה אפשר לבצע במקביל ברמות הערכיות האחרות. זה מאפשר לנו במעבר יחיד לייצג סכום של 3 מספרים A, B ו-C כזוג מספרים X ו-Y כשמתקיים: A + B + C = X + Y בכל רמה בריחת סיבית אחת למעלה תפוצה ע''י הסיבית המצתרפת מלמטה. אם אין ממה לפצות (למשל ברמת LSB) אזי משלימים את החסר בעזרת קבוע '0'. שימו לב ש-X ו-Y הם בני j+1 סיביות. ai-2 bi-2 ci-2 xi-1 yi-2 xi-2 FA

סיכום של 3K> מספרים בני j סיביות © Dima Elenbogen 2010, Technion – Israel Institute of Technology סיכום של 3K> מספרים בני j סיביות FA ai bi ci xi+1 yi מחלקים את K המספרים לשלשות. סה''כ K/3 שלשות. מטפלים במקביל בכל שלישיה כזאת כמו שתואר קודם. אחרי מעבר זה נשארנו עם ⅔∙K מספרים בני j+1 סיביות כ''א. כעת ניתן לחלק את המספרים שהתקבלו שוב לשלשות ולחזור על המעבר עד אשר נישאר עם זוג מספרים. בכל מעבר מתווספת רמת ערכיות אחת. הסכום של 2 המספרים שהתקבלו בסוף ניתן לחישוב בעזרת CLA. שיטה כזו נקראית Carry-Save Adder. FA ai-1 bi-1 ci-1 xi yi-1 ai-2 bi-2 ci-2 xi-1 yi-2 xi-2 FA בשקף הבא מוצגת דוגמה למערכת המחברת 9 מספרים.

אותו טיפול ביתר הסיביות (מ-4 עד j+4) כמו בסיביות ברמה 3 סיביות רמה 1 (ערכיות 2) סיביות רמה 2 (ערכיות 4) סיביות רמה 3 (ערכיות 8) FA y0 z0 y1 z1 y2 z2 y3 z3 סיביות LSB אותו טיפול ביתר הסיביות (מ-4 עד j+4) כמו בסיביות ברמה 3

© Dima Elenbogen 2010, Technion – Israel Institute of Technology Carry Save Adder בדוגמה ראינו את המעברים: 9 → 6 → 4 → 3 → 2 FA ai bi ci di xi+1 yi הביטים שנותרו ללא שלישיה עוקפים FA והיישר מתקדמים לשלב הבא (מסומן בצהוב). כל מעבר כזה מתבצע בזמן O(1). בכל מעבר כ- ⅓ מהביטים מצטמצמים. לכן סה''כ נדרשים O(log3/2 K) מעברים: K∙(⅔)m = 2  m ≳ log3/2 K/2 אז סיבוכיות הסיכום הכללית היא בערך(*) O(log3/2 K) + O(log2 j) כאשר log2 j הוא זמן חיבור 2 המספרים הנותרים )בני j+... סיביות( בעזרת CLA. xi (*) זה תלוי בכך האם הסכום מחושב: במדויק (כולל הרמות שהתווספו) מודולו 2j (בהשמטת הרמות הנ''ל)

מכפל מהיר של 2 מספרים בני j ביט © Dima Elenbogen 2011, Technion – Israel Institute of Technology מכפל מהיר של 2 מספרים בני j ביט j מחוברים בני 2j-1 סיביות כ''א כל זוג axby מחושב בעזרת שער AND

© Dima Elenbogen 2011, Technion – Israel Institute of Technology השהיית המכפל המהיר O(log3/2 j) + 2⋅log2 (2j-1) + 1 + 1 O(log3/2 j) + O(log2 (2j-1))

© Dima Elenbogen 2011, Technion – Israel Institute of Technology שאלה ממבחן עליך לתכנן מסכםcarry save המסכם ביעילות j מילים של k ביטים כל אחת לרשותך הרכיבים הרגילים שהם מספר בלתי מוגבל של יחידות FA ומסכם CLA יחיד. מלבד זאת לרשותך מחוללי קבועים ומספר לא מוגבל של רכיבי סיכום של שתי מילים של 4 ביטים כל אחד המחשבים את תוצאת הסיכום ואת ה-carry (כמתואר בשירטוט): 4 bit adder Cout Cin נניח כאן שלכל הרכיבים השהיית זמן של יחידה ושאורך המילים לסיכום (k) גדול.  בכמה זמן יתקצר זמן החישוב אם ייעשה שימוש אופטימלי ביחידות אלו? LatOLD = O(log3/2 j) + 1 = log3/2 j + CO + 1 LatNEW = O(log9/5 j) + 1 = log9/5 j + CN + 1

פיתרון השאלה מהמבחן LatOLD = log3/2 j + CO + 1 © Dima Elenbogen 2011, Technion – Israel Institute of Technology פיתרון השאלה מהמבחן LatOLD = log3/2 j + CO + 1 LatNEW = log9/5 j + CN + 1 LatOLD log3/2 j LatNEW log9/5 j = ────────── = ────── log2 j / log2 3/2 log2 9/5 log2 j / log2 9/5 log2 3/2 lim ───── = ───── j∞ הזמן יירד בערך פי log2(9/5) / log2(3/2)