קומבינטוריקה למדעי-המחשב EULER GRAPHS גרפים אויילרים מבוסס על הספר: S. Even, "Graph Algorithms", Computer Science Press, 1979 שקפים, ספר וחומר רלוונטי נוסף באתר הקורס: Slides, book and other related material at: http://webcourse.cs.technion.ac.il/234141 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

לאונרד אוילר Leonhard Euler 1707 נולד 1707 (באזל) 1723 מאסטר (פילוסופיה) 1727-1730 קצין בצי הרוסי 1730 פרופסור (פיזיקה) 1733 ראש המחלקה למתימטיקה (St. Petersburg Academy of Science ) 866 ספרים ומאמרים 13 ילדים נחשב למתמטיקאי הפורה ביותר R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

בעית טיול הגשרים בקניגסברג (Koenigsberg) בקנינגסברג היו 7 גשרים מעל נהר הפרגל (Pregel). הבעיה: כיצד ניתן לחצות את כל שבעת הגשרים מבלי לחצות גשר יותר מפעם אחת הפיתרון: ניתן לראשונה ע"י Euler ב-1736 R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

שלב א בפיתרון: ייצוג ע"י גרף R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

EULER GRAPHS גרפים אויילרים יהי G=(V,E) גרף סופי לא מכוון. מסלול אויילרי (Euler path) ב-G הוא מסלול e1,e2,…, eL באורך L =|E| בו כל קשת מופיעה בדיוק פעם אחת במעגל אויילרי e1=eL R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

EULER GRAPHS גרפים אויילרים גרף סופי לא-מכוון נקרא גרף אויילרי אם יש לו מסלול או מעגל אויילרי תרגיל רשות: האם הגרפים אויילרים? R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

1.3 EULER GRAPHS גרפים אויילרים Theorem 1.1: A finite (undirected) connected graph is an Euler graph if and only if exactly two vertices are of odd degree or all vertices are of even degree. In the latter case, every Euler path of the graph is a circuit, and in the former case, none is. R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141

גרפים מכוונים אויילרים Theorem 1.2: A finite digraph is an Euler digraph if any only if its underlying graph is connected and one of the following two conditions holds: 1.There is one vertex a s.t. dout(a) = din(a) +1 and a vertex b s.t. dout(b)+1 = din(b), for all other vertices v, dout(v) = din(v). 2. For all vertices v, dout(v) = din(v). R. Bar-Yehuda © www.cs.technion.ac.il/~cs234141