אי-שיוויון קלאוזיוס עד עתה מצאנו ניסוחים כמותיים לשינוי באנטרופיה בתהליכים קוואזיסטאטיים. מה קורה בתהליכים שאינם קוואזיסטאטיים? הקושי עם תהליך שאינו קוואזיסטאטי הוא שלמרות שהמצב ההתחלתי והמצב הסופי מוגדרים היטב מבחינה תרמודינאמית, מצבי הביניים אינם כאלה. על-מנת לקבל תוצאה משמעותית, "נבנה" תהליך תרמודינאמי שבו שניתן לעקוב אחרי הקשר בין הכנסה והוצאה של חום לבין השינויים באנטרופיה.
נניח שיש לנו תהליך המעביר מערכת ממצב A למצב B T ~ נספק את החום הנחוץ לתהליך ממאגר עיקרי בטמפרטורה T. ~ C T ~ Ti |Wi| נקדם את התהליך בסדרה של תהליכים קטנים, שבכל אחד מהם החום מסופק דרך מכונת קרנו הפועלת בין מאגרים משניים בטמפרטורה T וTi-, שהיא הטמפרטורה שבה נמצאת המערכת בצעד הi-. ~ B שימו לב שבחלק מהתהליכים המשניים מכונת קרנו יכולה להיות מקרר, המעביר חום מהמערכת למאגר העיקרי בעזרת עבודה A
פיתוח אי-שיוויון קלאוזיוס (I) מאחר שבכל שלב העברת החום נעשית בתיווך של מכונת קרנו הפיכה, אנחנו יודעים כי סך כל החום שהוצא מהמאגר העיקרי על-פני מחזור שלם סך כל העבודה שנעשית על המערכת המורכבת על-פני מחזור שלם
פיתוח אי-שיוויון קלאוזיוס (II) המערכת ה"אמיתית" משלימה מחזור שלם: היא איננה מגדילה או מקטינה את האנרגיה שלה. לכן כל העבודה שנעשית על המערכת יכולה ללכת רק לתוספת חום למאגר העיקרי (המאגרים המשניים אינם משנים אנרגיה). (הגדרנו את Q כחום שיוצא מהמאגר העיקרי) ~ לפי קלווין, W לא יכול להיות שלילי (עבודה שהמערכת המוכללת עושה על הסביבה), כי אז הוצאנו חום מהמאגר העיקרי והפכנו לעבודה ביעילות מושלמת. =0 העבודה נטו על-פני מחזור שלם אפס 0 על-פני מחזור שלם מושקעת עבודה נטו
פיתוח אי-שיוויון קלאוזיוס (III) מסקנה: על-פני מחזור שלם ובהכללה – על-פני מחזור סגור: זהו אי-שיוויון קלאוזיוס. שיוויון מתקיים רק בתהליך הפיך. האפליקציה החשובה של אי-שיוויון קלאוזיוס היא בהצבת גבול תחתון כמותי על השינוי באנטרופיה כתוצאה מתהליך לא הפיך
המסקנה על השינוי באנטרופיה f P i V נניח שישנו תהליך לא הפיך המעביר את המערכת ממצב i למצב f. נוכל להחזיר את המערכת למצב i באמצעות תהליך הפיך, שעבורו לפי האי-שיוויון, על כל המסלול הסגור מאחר שהאנטרופיה היא פונקציית מצב, על כל המסלול הסגור DS=0 ולכן DSfi=-DSif "הטמפרטורה האפקטיבית של המאגר המספק את החום בכל רגע" מסקנה: