מה ניתן ללמוד ממתמטיקאים על הוראת גיאומטריה בבית-ספר יסודי הכנס הארצי של החינוך המתמטי בבית הספר היסודי "גאומטריה מזוויות שונות"   מה ניתן ללמוד ממתמטיקאים על הוראת גיאומטריה בבית-ספר יסודי ג'ייסון קופר מכון ויצמן – הוראת מתמטיקה, רחובות 3.7.2013 מרכז הכנסים בשפיים

מה ניתן ללמוד ממתמטיקאים על הוראת גיאומטריה לכאורה מעט מאד מורות מכירות היטב גיאומטריה של בית ספר יסודי. התחום נתפס כדי טכני ויבש: זיהוי ושיום צורות, מדידות וחישובים. למתמטיקאים אין "ידע להוראה". לא מכירים את תוכנית הלימודים. אין להם ניסיון בהוראה בבית ספר יסודי. לא מכירים ילדים וקשיים נפוצים. ובכל זאת... ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

השתלמות מורות יוצאת דופן חסות: החוג למתמטיקה באוניברסיטה העברית בירושלים ומשרד החינוך מנחים: תלמידי דוקטורט במתמטיקה באוניברסיטה העברית משתתפות: כ- 90 מורות בית ספר יסודי בירושלים, ב- 6 קבוצות לימוד, במסגרת 30 שעות במהלך השנה, לגמול. מטרות: העמקה והרחבה של ידע מתמטי רלוונטי להוראה מלווה מחקר: לדוקטורט בהוראת מתמטיקה המפגש היה פורה ומועיל על דעת כל המעורבים. מודל לשיתוף פעולה בין קהילות שלא מרבות לדבר זו עם זו ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות התוכנית לראות ארבע פעילויות מתוך ההשתלמות לברר מה מאפיין את הפעילויות, ולעמוד על התרומה הייחודית של אנשי מתמטיקה להשתלמות מורות בית ספר יסודי. רפלקציה אישית – מה אני יכולה ורוצה לקחת מזה לכיתתי? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

1. גיאומטריה ומספרים רציונאליים איזה מספר מיוצג בסרטוט? האם הייתן משתמשות בייצוג הזה בכיתתכן? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

גיאומטריה ומספרים רציונאליים המלבן מחולק לארבעה חלקים... ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

גיאומטריה ומספרים רציונאליים המלבן מחולק לארבעה חלקים... שווים? מה משמעות "שווים" בהקשר הזה? חופפים? שווי שטח? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

גיאומטריה ומספרים רציונאליים מה הקשר בין שטח וחפיפה? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח וחפיפה מה הקשר בין שטח וחפיפה? אם הצורות חופפות, השטחים שווים ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח וחפיפה מה הקשר בין שטח וחפיפה? אם הצורות חופפות, השטחים שווים אבל לא רק! הצורות אינן חופפות אבל שטחים שווים כיצד יודעים שהשטחים שווים? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח וחפיפה כיצד יודעים שהשטחים שווים? שיקול גיאומטרי של חפיפה ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח וחפיפה 1/4 1/2 כיצד יודעים שהשטחים שווים? שיקול גיאומטרי של חפיפה שיקול גיאומטרי משולב עם אלגברי ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח וחפיפה 1/4 1/4 כיצד יודעים שהשטחים שווים? שיקול גיאומטרי של חפיפה שיקול גיאומטרי משולב עם אלגברי ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח וחפיפה 1/2 כיצד יודעים שהשטחים שווים? שיקול גיאומטרי של חפיפה שיקול גיאומטרי משולב עם אלגברי ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח וחפיפה בסיס כפול גובה חלקי 2 כיצד יודעים שהשטחים שווים? שיקול גיאומטרי של חפיפה שיקול גיאומטרי משולב עם אלגברי חישוב שטח ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח וחפיפה אותו אורך בסיס כפול אותו גובה חלקי 2 כיצד יודעים שהשטחים שווים? שיקול גיאומטרי של חפיפה שיקול גיאומטרי משולב עם אלגברי חישוב שטח ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות במה עסקנו בפעילות? שוויון וחפיפה - שני יחסי שקילות קשורים אבל שונים תכונות מלבן שטח משולש מה זה ייצוג? איזה ייצוג מתאים בכיתה שלי? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות 2. לוח מסמרים - שטח וחפיפה בנו כמה שיותר משולשים שונים בעלי שטח של 1 יחידת שטח. כיצד ידעתם מה השטח? מתי משולשים הם "שונים"? כיצד תדעו שמצאתם את כולם? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה לומדים כאן? בנו כמה שיותר משולשים שונים בעלי שטח של 1 יחידת שטח. תרגול שטח משולש כולל קהה זווית ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה לומדים כאן? בנו כמה שיותר משולשים (מצולעים) שונים בעלי שטח של 1 יחידת שטח. כיצד ידעתם מה השטח? לעיתים נדרש תחכום. מה שטח המשולש בצילום? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה לומדים כאן? בנו כמה שיותר משולשים (מצולעים) שונים בעלי שטח של 1 יחידת שטח. כיצד ידעתם מה השטח? מתי משולשים הם "שונים"? משולשים שאינם חופפים. התעסקות עם מושג החפיפה בתוך הקשר אותנטי (לא דידקטי) ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה לומדים כאן? בנו כמה שיותר משולשים (מצולעים) שונים בעלי שטח של 1 יחידת שטח. כיצד ידעתם מה השטח? מתי משולשים הם "שונים"? כיצד יודעים שמשולשים הם חופפים אם אפשר לעבור ביניהם באמצעות הזזות, סיבובים ושיקופים ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה לומדים כאן? בנו כמה שיותר משולשים (מצולעים) שונים בעלי שטח של 1 יחידת שטח. כיצד ידעתם מה השטח? מתי משולשים הם "שונים"? כיצד יודעים שמשולשים הם חופפים אם אפשר לעבור ביניהם באמצעות הזזות, סיבובים ושיקופים ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה לומדים כאן? בנו כמה שיותר משולשים (מצולעים) שונים בעלי שטח של 1 יחידת שטח. כיצד ידעתם מה השטח? מתי משולשים הם "שונים"? כיצד יודעים שמשולשים הם חופפים אם אפשר לעבור ביניהם באמצעות הזזות, סיבובים ושיקופים ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה לומדים כאן? בנו כמה שיותר משולשים (מצולעים) שונים בעלי שטח של 1 יחידת שטח. כיצד ידעתם מה השטח? מתי משולשים הם "שונים"? כיצד יודעים שמשולשים הם חופפים אם אפשר לעבור ביניהם באמצעות הזזות, סיבובים ושיקופים ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה לומדים כאן? בנו כמה שיותר משולשים (מצולעים) שונים בעלי שטח של 1 יחידת שטח. כיצד ידעתם מה השטח? מתי משולשים הם "שונים"? כיצד יודעים שמשולשים הם חופפים כיצד תדעו שמצאתם את כולם? עקרון מתמטי של מיצוי אפשרויות ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

3. כיצד מתקבלת התוצאה הגדולה ביותר? 7 2 4 9 × הספרות הגדולות בעשרות והספרות הקטנות באחדות או אולי כך? 7 4 9 2 × ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

כיצד מתקבלת התוצאה הגדולה ביותר? 7 2 9 4 × = 70×90 + 2×90 + 4×70 + 2×4 7 4 9 2 × = 70×90 + 4×90 + 2×70 + 2×4 לא חייבים גיאומטריה... אבל אפשר! שימו לב: הסכום שווה: 72+94 = 74+92 כאשר הסכום של שני מספרים ידוע, מתי מכפלתם מרבית? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

כיצד מתקבלת התוצאה הגדולה ביותר? X Y סכום שני אורכי צלעות: חצי היקף מלבן מכפלת אורכי צלעות: שטח מלבן ניסוח גיאומטרי של הטענה: מבין כל המלבנים בעלי היקף נתון – השטח גדול ככל שהמלבן דומה יותר לריבוע. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

כיצד מתקבלת התוצאה הגדולה ביותר? X Y הוכחה: נשמר היקף – נגדיל צלע אחת ונקטין אחת. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

כיצד מתקבלת התוצאה הגדולה ביותר? X +1 Y-1 הוכחה: נשמר היקף – נגדיל צלע אחת ונקטין אחת. השטח קטן ב- X וגדל Y-1. כל עוד המלבן "פחוס", ההתקרבות לריבוע תגדיל את השטח. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

כיצד מתקבלת התוצאה הגדולה ביותר? 7 2 9 4 × 7 4 9 2 × ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה למדנו? X +1 Y-1 הזדמנות לקשור כפל ושטח, לבסס את מודל השטח לכפל. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה למדנו? X +1 Y-1 הזדמנות לקשור כפל ושטח, לבסס את מודל השטח לכפל. בונוס: הריבוע מוצג כמקרה פרטי של המלבן! ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות מה למדנו? הזדמנות לקשור כפל ושטח, לבסס את מודל השטח לכפל. בונוס: הריבוע מוצג כמקרה פרטי של המלבן! ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות 4. שטח משולש ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח משולש h b שטח המשולש הוא סכום שטחים של שני משולשים ישרי זווית. בסיס כפול גובה חלקי 2. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח משולש קהה זווית h b ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח משולש קהה זווית h b גם בסיס כפול גובה חלקי 2. להתייחס למקרה הזה באופן מפורש בכיתה? בשביל מתמטיקאי המצב הזה דומה מאד למצב של חד-זוויות, פשוט מחליפים חיבור בחיסור! ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח משולש קהה זווית h b z משולש גדול: ½×(b+z)×h משולש קטן: חצי ½×z×h ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח משולש קהה זווית h b z משולש גדול: ½×(b+z)×h משולש קטן: חצי ½×z×h נחסיר את שטח המשולש קטן לקבל ½×b×h חיסור שטחים זה קשה... ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח משולש קהה זווית h b הצעה של מורה: השלמה למקבילית! שטח המשולש – חצי שטח המקבילית. שטח מקבילית: בסיס כפול גובה. מניין? ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות שטח מקבילית h b הצעה של מורה: השלמה למקבילית! שטח המשולש – חצי שטח המקבילית. שטח מקבילית: בסיס כפול גובה. מניין? מלבן ושני משולשים ישרי זווית. לדיון: זה לא עובד לכל מקבילית, אבל אפשר להסתדר. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

שטח משולש קהה זווית – מה היה לנו? שטח משולש קהה זווית – מה היה לנו? חקר אותנטי מתמטיקה ברמה גבוהה פתרונות יצירתיים שהפתיעו את המתמטיקאים קישור בין נוסחאות שטח שונות – משולש ישר זווית משלוש חד זוויות משולש קהה זווית מקבילית משהו שאפשר לקחת לכיתה ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה מאפיין את המשימות והפעילויות שבחרו/פיתחו המתמטיקאים? קישור בין נושאים מתמטיים שונים מספר, יחס, גיאומטריה ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה מאפיין את המשימות והפעילויות שבחרו/פיתחו המתמטיקאים? קישור בין נושאים מתמטיים שונים קישורים בתוך תחום הגיאומטריה שטח, היקף, חפיפה ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה מאפיין את המשימות והפעילויות שבחרו/פיתחו המתמטיקאים? קישור בין נושאים מתמטיים שונים קישורים בתוך תחום הגיאומטריה אופק מתמטי – המתמטיקאים רואים כיצד נושאים שנלמדים היום יהוו בסיס לנושאים עתידיים. חפיפה ושוויון שטח כיחסי שקילות מודל השטח לכפל חיוני עבור כפל שברים. שטח נושא מרכזי בהמשך הלימודים: הסתברות, אינטגרלים, גיאומטריה אנליטית, ועוד. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה מאפיין את המשימות והפעילויות שבחרו/פיתחו המתמטיקאים? קישור בין נושאים מתמטיים שונים קישורים בתוך תחום הגיאומטריה אופק מתמטי נושאים מטה-מתמטיים לכל עובדה יש סיבה והסבר. רצוי לציין ולהסביר עובדות כלליות ככל האפשר (שטח משולש כללי) מה זה "ייצוג" אפשר ורצוי לפתור בעיות וחישובים בדרכים רבות ומגוונות. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה מאפיין את המשימות והפעילויות שבחרו/פיתחו המתמטיקאים? קישור בין נושאים מתמטיים שונים קישורים בתוך תחום הגיאומטריה אופק מתמטי נושאים מטה-מתמטיים נושאים דידקטיים איזה ייצוג מתאים לילדים בכיתתי בבית ספר יסודי אפשר לעסוק בהוכחות ללא סימבוליקה אלגברית! ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה מאפיין את המשימות והפעילויות שבחרו/פיתחו המתמטיקאים? קישור בין נושאים מתמטיים שונים קישורים בתוך תחום הגיאומטריה אופק מתמטי נושאים מטה-מתמטיים נושאים דידקטיים פעילויות למורות בהשתלמות שאפשר לקחת לכיתה. עם התאמות... ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה מאפיין את המשימות והפעילויות שבחרו/פיתחו המתמטיקאים? קישור בין נושאים מתמטיים שונים קישורים בתוך תחום הגיאומטריה אופק מתמטי נושאים מטה-מתמטיים נושאים דידקטיים פעילויות למורות בהשתלמות שאפשר לקחת לכיתה. זיהוי מושג השטח כצומת קריטי בלימודי בית ספר יסודי ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה מאפיין את המשימות והפעילויות שבחרו/פיתחו המתמטיקאים? שטח: מושג קריטי בצומת של נושאים רבים בבית ספר יסודי שטח כנושא בפני עצמו שטח כייצוג לכפל מספרים (קריטי לכפל שברים) השלמה והפחתה של שטח מייצגים חיבור וחיסור. קשרים בין שטח והיקף קשרים בין שטח וחפיפה ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה אני לוקח מההשתלמות לכיתה? מתמטיקה של בית ספר יסודי היא קודם כל מתמטיקה. לכל עובדה ולכל נוסחה יש הסבר. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה אני לוקח מההשתלמות לכיתה? מתמטיקה של בית ספר יסודי היא קודם כל מתמטיקה. לכל עובדה ולכל נוסחה יש הסבר. יש הזדמנויות לקשור בין נושאים, ולהציג את המתמטיקה כמארג קוהרנטי שבו נושאים שונים עולים בהקשרים מגוונים. 2 9 × 4 7 X Y ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה אני לוקח מההשתלמות לכיתה? מתמטיקה של בית ספר יסודי היא קודם כל מתמטיקה. לכל עובדה ולכל נוסחה יש הסבר. יש הזדמנויות לקשור בין נושאים, ולהציג את המתמטיקה כמארג קוהרנטי שבו נושאים שונים עולים בהקשרים מגוונים. לבעיות יש לעיתים פתרונות רבים מתחומים שונים. 1/4 ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה אני לוקח מההשתלמות לכיתה? מתמטיקה של בית ספר יסודי היא קודם כל מתמטיקה. לכל עובדה ולכל נוסחה יש הסבר. יש הזדמנויות לקשור בין נושאים, ולהציג את המתמטיקה כמארג קוהרנטי שבו נושאים שונים עולים בהקשרים מגוונים. לבעיות יש לעיתים פתרונות רבים מתחומים שונים. בהקשר מתאים אפשר להתמודד עם תוכן מתמטי מאתגר. הקשר "אותנטי", לאו דווקא "מהחיים" של הילדים ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה אני לוקח מההשתלמות לכיתה? מתמטיקה של בית ספר יסודי היא קודם כל מתמטיקה. לכל עובדה ולכל נוסחה יש הסבר. יש הזדמנויות לקשור בין נושאים, ולהציג את המתמטיקה כמארג קוהרנטי שבו נושאים שונים עולים בהקשרים מגוונים. לבעיות יש לעיתים פתרונות רבים מתחומים שונים. בהקשר מתאים אפשר להתמודד עם תוכן מתמטי מאתגר. הקשר "אותנטי", לאו דווקא "מהחיים" של הילדים גיאומטריה של בית ספר יסודי היא לא מה שחשבתי! יש בה נושאים מרתקים ועמוקים. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה אני לוקח מההשתלמות לכיתה? מתמטיקה של בית ספר יסודי היא קודם כל מתמטיקה. לכל עובדה ולכל נוסחה יש הסבר. יש הזדמנויות לקשור בין נושאים, ולהציג את המתמטיקה כמארג קוהרנטי שבו נושאים שונים עולים בהקשרים מגוונים. לבעיות יש לעיתים פתרונות רבים מתחומים שונים. בהקשר מתאים אפשר להתמודד עם תוכן מתמטי מאתגר. הקשר "אותנטי", לאו דווקא "מהחיים" של הילדים גיאומטריה של בית ספר יסודי היא לא מה שחשבתי! יש בה נושאים מרתקים ועמוקים. מי שחווה את ההתרגשות והסיפוק של גילוי מתמטי בהשתלמות עשוי לייצר הזדמנויות כאלה עבור תלמידיו. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

מה חושבים מתמטיקאים על מתמטיקה? מתמטיקה היא קוהרנטית. היא מארג שבו כל המושגים והכישורים שזורים לוגית לשלם אחד. Mathematics is coherent; it is a tapestry in which all the concepts and skills are logically interwoven to form a single piece. Wu, H. (2011). The mis-education of mathematics teachers. Notices of the AMS, 58(3), 372–384. ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות

הכנס הארצי של החינוך המתמטי בבית הספר היסודי תודה רבה! ג'ייסון קופר מכון ויצמן, רחובות

עוד בונוס - קישור לאלגברה a b כיצד ניתן לדעת שלטרינום x2-20x+108 אין פירוק לגורמים? אם היה פירוק (x-a)(x-b), הרי שהמספרים a, b היו כאלה שסכומם 20 ומכפלתם 108. הם היו צלעות של מלבן בעל היקף 40. שטחו גדול ביותר כאשר הוא ריבוע (בעל צלע 10), ואז שטחו 100. שטח 108 בלתי אפשרי! ג'ייסון קופר, מכון ויצמן, רחובות